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概率论与数理统计1.2样本空间、随机事

汇报人：AA

2024-01-19

目录

CONTENTS

样本空间与随机事件概述

古典概型与几何概型

条件概率与独立性

全概率公式与贝叶斯公式

随机变量及其分布函数

多维随机变量及其分布函数

01

样本空间与随机事件概述

样本空间是随机试验所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。

样本空间定义

样本空间中的每一个元素都是随机试验的一个可能结果，且这些结果是互斥的、完备的。

样本空间性质

随机事件是样本空间的子集，即某些可能结果的集合。随机事件常用大写字母A、B、C等表示。

根据随机事件包含的可能结果个数，可分为基本事件（只包含一个可能结果）和复合事件（包含多个可能结果）。

随机事件分类

随机事件概念

事件间的关系主要有包含、相等、互斥和独立等。若事件A的发生导致事件B一定发生，则称事件B包含事件A；若两事件同时发生的概率为两事件各自发生概率的乘积，则称两事件相互独立。

事件间关系

事件的运算主要包括和事件（并集）、积事件（交集）、差事件（补集）等。和事件表示至少有一个事件发生；积事件表示两个事件同时发生；差事件表示第一个事件发生而第二个事件不发生。

事件运算规则

02

古典概型与几何概型

定义

古典概型是一种基于等可能性的概率模型，其中每个基本事件发生的可能性都相等。

计算方法

在古典概型中，事件A发生的概率P(A)可以通过以下公式计算：P(A)=事件A包含的基本事件数/样本空间中的基本事件总数。

定义

几何概型是一种基于几何度量（如长度、面积、体积等）的概率模型，其中每个基本事件的发生概率与其几何度量成比例。

计算方法

在几何概型中，事件A发生的概率P(A)可以通过以下公式计算：P(A)=事件A的几何度量/样本空间的几何度量。

古典概型和几何概型的主要区别在于基本事件的定义和概率的计算方式。古典概型关注等可能性的基本事件，而几何概型关注与几何度量相关的基本事件。

比较

两种概型都是概率论的基础模型，用于描述随机现象。在某些情况下，古典概型和几何概型可以相互转化或结合使用，以便更准确地描述和解决实际问题。例如，在投掷一枚均匀硬币的试验中，既可以用古典概型（正面和反面出现的可能性相等）来描述，也可以用几何概型（硬币正面和反面的面积相等）来描述。

联系

03

条件概率与独立性

条件概率定义

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。

条件概率计算公式

P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

定义法

如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

等价条件

事件A与事件B相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A)和P(B|A)=P(B)。

相互独立

对于n个事件，如果任意k个事件（k≤n）的交事件的概率等于这k个事件概率的乘积，则称这n个事件相互独立。

两两独立

对于n个事件，如果任意两个事件都相互独立，则称这n个事件两两独立。

性质

如果n个事件相互独立，则其中任意k个事件也相互独立；如果n个事件中任意k个事件相互独立，则这n个事件的任意m个事件（mk）也相互独立。

04

全概率公式与贝叶斯公式

VS

全概率公式是通过划分事件空间，将复杂事件的概率求解转化为简单事件的概率求和。具体推导过程为：首先构造一个完备事件组，然后利用概率的加法公式和乘法公式，推导出全概率公式。

应用举例

在医疗诊断中，全概率公式可以用于计算某种疾病的患病率。例如，根据年龄、性别、家族史等因素，将人群划分为不同的组，然后利用全概率公式计算各组患病率的加权和，从而得到该疾病的整体患病率。

推导过程

推导过程

贝叶斯公式是在已知先验概率和条件概率的情况下，计算后验概率的公式。具体推导过程为：利用条件概率的定义和全概率公式，推导出贝叶斯公式的形式。

要点一

要点二

应用举例

在垃圾邮件分类中，贝叶斯公式可以用于计算一封邮件是垃圾邮件的概率。首先，根据历史数据计算出垃圾邮件和非垃圾邮件中各个单词出现的概率（先验概率）。然后，对于一封新的邮件，计算其中各个单词在垃圾邮件和非垃圾邮件中出现的条件概率，并利用贝叶斯公式计算出该邮件是垃圾邮件的后验概率。

适用范围

全概率公式适用于事件可以划分为互斥且完备的子事件的情况；而贝叶斯公式适用于已知先验概率和条件概率，需要计算后验概率的情况。

依赖关系

全概率公式的使用不依赖于事件的独立性；而贝叶斯公式的使用通常假设各个事件之间相互独立。

信息量要求

全概率公式对信息量的要求较低，只需要知道子事件的概率即可；而贝叶斯公式对信息量的要求较高，需要知道先验概率和条件概率的具体数值。

计算复杂度

全概率公