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空间向量及其运算

回顾平面向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。几何表示法：用有向线段表示。字母表示法：用字母等或者用有向线段的起点与终点字母表示。相等的向量：长度（模）相等且方向相同的向量。AB

2.平面向量的加减法运算（1）向量的加法：平行四边形法则三角形法则（首尾相连）

2.平面向量的加减法运算（2）向量的减法：减向量终点指向被减向量终点

新课导入这个建筑钢架中有很多向量，但它们有些并不在同一平面内。

概念1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。2.空间向量的的表示向量的起点是A，终点是B，则向量也可以记作，其模记为或AB

大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点

几类特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量，记为。当有向线段的起点A与终点B重合时，。（2）单位向量：模为1的向量。（4）相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量。（5）相等向量：方向相同且模相等的向量。

思考空间任意两个向量是否可能异面？结论：空间任意两个向量都是共面的，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示

向量的加法和减法运算OCBA

空间向量的加法运算律（1）交换律（2）结合律

探究在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，分别标出表示的向量。ABCDA1B1C1D1始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

扩展（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的量。即：（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。（1）当时，与向量的方向相同。（2）当时，与向量的方向相反。（3）当时，是零向量。的长度是的长度的倍。

向量的数乘运算分配律：结合律：

共线向量（平行向量）如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.定理：推论1：三点共线推论2：空间内有一点O,A、B、P共线ABPO

即时训练共线吗？共线吗？

共面向量共面向量：平行于同一个平面的向量（可平移到同一个面内的向量。定理：不共线的向量，若共面推论1：三点不共线，若共面推论2：空间内任意点,若共面

练习例.如图，已知平行四边ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使求证：四点E、F、G、H共面。BAHGFECDBHFEO

空间向量的夹角已知两个非零向量，在空间任取一点O,作则叫做向量的夹角，记作（1）范围：（2）（3）时，向量方向相同。（4）时，向量方向相反。（5）时，向量

两个向量的数量积已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作即注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.特别地，即：

思考类似平面向量，你能说出的几何意义吗？数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。

空间向量的数量积满足的运算律