第二章 函数 第4节 幂函数与二次函数.pptVIP

第4节幂函数与二次函数;1.幂函数;(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.;2.二次函数;(2)二次函数的图象和性质;偶;诊断自测;答案(1)×(2)√(3)×(4)×;解析因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.;3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________.

解析当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)单调递增.

当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增.;答案A;5.(2020·广东省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为()

A.{0，－3} B.[－3，0]

C.{0，3} D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)

解析依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3.∴实数m的取值范围是{0，－3}.

答案A;解析由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.

又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α0，取α＝－1.

答案－1;考点一幂函数的图象和性质;解析(1)设幂函数的解析式为y＝xα，

因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，;答案(1)C(2)A;规律方法1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α0，0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.;A.－1m0n1 B.－1n0m

C.－1m0n D.－1n0m1;(2)幂函数y＝xα，当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0α1时，图象上凸，∴0m1.

当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.

不妨令x＝2，由图象得2－12n，则－1n0.

综上可知，－1n0m1.

答案(1)AD(2)D;考点二二次函数的解析式

【例2】(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.

解法一(利用“一般式”解题)

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).;又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，;解得a＝－4或a＝0(舍).

故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.;规律方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：;【训练2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.

解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，

所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.

又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，;又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，

所以3a＝3，则a＝1.

故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.

答案x2－4x＋3;考点三二次函数的图象及应用

【例3】(1)对数函数y＝logax(a0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是();解析(1)若0a1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.

若a1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，

因此B项不正确，只有选项A满足.;规律方法1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.

2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.;【训练3】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是();D中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a0，b0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，D错误.

答案C;角度1二次函数的单调性与最值

【例4－1】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.

(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；