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某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道,全长约1471m,高度差为380m。采用循环单线修建,从下站到上站行经8个铁塔,将缆绳分为九段,各段的水平距离用表示,高差用表示,其数据见下表:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?220
200?
140?
120?
100?
?120
?140
?200
220?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?50
45?
?40
?38
34
38?
40?
45?
50?
每一段缆绳垂下来的最低点不低于两端铁塔最低塔顶悬挂绳处1m。
要求:(1)折线法;
(2)抛物线法,
估计整个索道工程所用的缆绳总长度。
解:
(一)折线法
思路:考虑到实际中工程架线不能过紧,但又为了节省原料,我们采取求出最大折线和最小折线,对两者求取平均值,以得到对缆线总长度的估测。由于八个铁塔分九段,因此此题分两部分考虑:
第一段:直接求出发点到第一个铁塔的距离,即
第二到九段:建立坐标系,运用距离公式求取l的长度。设A(,1),B(,)得:
,用此公式求最大最小值。
B
B
y
y
A
A
0x
0
x
过程
数学公式:
各段之和即为缆绳总长。
matlab求解
第一段
symsh1d1
h1=50
d1=220
l1=sqrt(d1.^2+h1.^2)
第二段
求最小值
clear
l=sqrt((-x)^2+1)+sqrt((200-x)^2+(45+1)^2)
ezplot(l,[0,200]);
[xmin,lmin]=fminbnd(l,0,200)
得图形
可得当x=4.2553时,取得最小值205.45
由图形可得当x=200时取得最大值,即
clear
l=sqrt((-x)^2+1)+sqrt((200-x)^2+(45+1)^2)
ezplot(l,[0,200]);
[xmin,lmin]=fminbnd(l,0,200)
x=200;
lmax=eval(l);
l=(lmin+lmax)/2;
得lmax=246.0025
l=225.7254
第三段到第九段算法与第二段相同,所以结果为
第一段:l1=225.6103
第二到九段分别为:225.7254,163.5839,142.7476,120.6438,142.7476,163.5839,225.7254,248.5321
总长为:1658.9m
抛物线法
思路:参照示意图,因为将绳的形状看做抛物线,为了方便研究,以抛物线的最低点为原点建立抛物线,则每段绳的长度为,最后相加求总长。
此方法分两部分求解
第一段:设最低点即为缆绳出发点,那么第一个塔顶坐标为,代入方程得出抛物线方程后求
第二到九段:设较低铁塔的坐标为,较高铁塔为,将其带入方程得出抛物线方程后求
y
y
x
x
过程:
第一段:求系数a
clear
symsa
x=220
y=51
a=y/x^2
end
a
求得a=0.0011
求长度
clear
symsx
y=0.0011*x^2;
y1=diff(y);
l=int(sqrt(1+y1^2),0,220)
得l=11/25*77141^(1/2)+2500/11*log(2)+7500/11*log(5)-2500/11*log(-121+77141^(1/2))
ans=228.3103
第二段:求抛物线方程
clear
symsta
s=solve(a*t^2-1,a*(200+t)^2-(45+1));
a1=s.a,t1=s.t
得t11=-25.6992a11=0.0015
t12=34.5881a12=8.3588e-004
因为t0,所以选取负值求长度
clear
symsx
y=0.0015*x^2;
f=diff(y);
l=int(sqrt(1+f^2),-25.6992,174.3008)
求得l=207.6709
第三到九段方法与第二段相同。
所以各段结果为228.3103207.6709;148.7615;128.9306;108.8663;128.9306;148.7615;207.6709;229.0426.
总长为1536.9m
二为迎接香港回归,柯受良1997年6月1日驾车飞越黄河壶口。东岸跑道长265m,柯受良驾车从跑道东端起动到达跑道终端时速度为150km/h,他随即从仰角5度冲出,飞越跨度为57m,安全落到西岸木桥上。问(1)柯受良跨越黄河用了多长时间?(2)若起飞点高出河面10m,柯受良驾车飞行的最高点离河面多少米?(3)西岸木桥桥面与起飞点的高度
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