数学建模(研究生录取问题).docxVIP

实用文档

PAGE2

江苏师范大学

第五届（2012）数学建模竞赛

我们选择的题号是：B题研究生录取问题

我们的参赛队号为：20120402049

B研究生录取问题

问题的重述

某学校M系计划招收10名计划内研究生，依照有关规定由初试上线的前15名学生参加复试，专家组由8位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的以上5个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为A,B,C,D四个等级，并将其填入面试表内。所有参加复试学生的初试成绩、各位专家对学生的5个方面专长的评分见附件表(1)～表(8)所示。

(1)首先，请你综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10名研究生的录取名单。然后，要求被录取的10名研究生与10名导师之间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿（依次申报2个专业志愿，如表(10)所示）、导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。请你给出一种10名研究生和导师之间的最佳双向选择方案（并不要求一名导师只带一名研究生），使师生双方的满意度最大。

(2)根据上面已录取的10名研究生的专业志愿（见附件表（10）），如果每一位导师只能带一名研究生，请你给出一种10名导师与10名研究生双向选择的最佳方案，使得师生双方尽量都满意。

(3)如果由10位导师根据初试的成绩及专家组的面试评价和他们自己对学生的要求条件录取研究生，那么10名研究生的新录取方案是什么？为简化问题，假设没有申报专业志愿，请你给出这10名研究生各申报一名导师的策略和导师各选择一名研究生的策略。相互选中的即为确定；对于剩下的导师和学生，再按上述办法进行双向选择，直至确定出每一名导师带一名研究生的方案，使师生都尽量满意。

(4)学校在确定研究生导师的过程中，要充分考虑学生的申报志愿情况。为此，学校要求根据10名导师和15名学生的综合情况选择5名导师招收研究生，再让这5名导师在15名学生中择优录取10名研究生。请你给出一种导师和研究生的选择（录取）方案，以及每一名导师带2名研究生的双向选择最佳策略。

(5)请你设计一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案，提供给主管部门参考，并说明你的方案的优越性。

目录

模型的假设……4

问题的解决及方法………………4

问题一的求解………………4

问题二的求解………………7

问题三的求解………………9

问题四的求解………………11

问题五的求解………………14

三、模型的评价………16

四、附录………………18

一、模型的假设

假设模型中各部分（如成绩、导师水平各方面、导师对学生要求等）所占权重和具体水平的量化在录取工作之前已对导师、学生和社会完全公开，体现了公平、公正和公开。

本模型假定，作为某学生甲，他对导师A的满意程度，不会因为导师A带的学生数增加而改变。

同时假定，某导师A对学生的满意程度是相互独立，且不会因为所带学生数多少而改变。

4、每一导师和学生配对产生的总合意指数是相互独立，且可以叠加。

二、问题解决及方法

1、问题一的求解

最大匹配：定义：存在V的两个子集V1和V2，使得每条边有一个顶点属于则称V1，而另一个顶点属于V2，则称图G(V,E)为二部图。

V1和V2:V1表示所有导师组成的集合，V2表示所有学生组成的集合。

N，M：分别表示系统中考生和导师的个数，N=|V1|，M=|V2|。

（1）图G是加权二部图，且两个顶点集合为V1和V2。

（2）V1和V2均有a个 1 5

1 5 1 5 2 6

2 6

2 6 3 7

3 7 3 7

4 8 4 8 4 8

（3）对于每个顶点u∈V1和u∈V2，则边e=（u，v）存在。

在上述假定下，将每个顶点组合，可以得到n！个完美匹配。

假设（3）是合理的，因为如果导师和学生能各取所需，可将它们之间的效益权重定义为o，记u1，u2…，un是V的顶点，v1，v2…，vn是V的顶点，定义wij是ui到vj的权重，因此全矩阵为W=（wij）。

还有称完美匹配M*是最优的，如果对所有的完美匹配M有

我们可以用枚举法，得到最大完美匹配，M*={（u1，v1），（u2，v3），（u3，v2）}

下面要综合考虑学生初试成绩、复试成绩等因素选出10名考生。

用平均分的思想解决得到前十位学生。将灵活性、创造性、知识性、表达力、外语各分配相应的分数，

A等为1分，B等为0.75分，C等为0.5分，D等为0.25分，