初中2次函数知识点总结PPT.pptx

初中2次函数知识点总结

二次函数基本概念与性质二次函数解析式求法二次函数图像变换规律二次函数在实际问题中应用二次函数与一元二次方程联系与区别典型例题分析与解题技巧contents目录

01二次函数基本概念与性质

形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数叫做二次函数。二次函数定义二次函数的一般表达式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$aneq0$。二次函数表达式二次函数定义及表达式

二次函数的图像是一条抛物线，对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。当$a0$时，抛物线开口向上；当$a0$时，抛物线开口向下。抛物线的对称轴和顶点决定了其位置和形状。二次函数图像与性质二次函数性质二次函数图像

一元二次方程与二次函数关系一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。判别式与二次函数图像关系一元二次方程的判别式$Delta=b^2-4ac$决定了二次函数图像与$x$轴的交点个数。当$Delta0$时，有两个交点；当$Delta=0$时，有一个交点；当$Delta0$时，没有交点。二次函数与一元二次方程关系

02二次函数解析式求法

设一般式：$y=ax^2+bx+c$(a≠0)代入三个点的坐标，得到一个包含三个未知数的方程组解方程组，求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式已知三点求二次函数解析式

设顶点式：$y=a(x-h)^2+k$(a≠0)顶点坐标(h,k)代入顶点式中，得到$y=a(x-h)^2+k$再将另一个点的坐标代入上式，求出a的值，从而确定二次函数的解析式已知顶点及另一点求二次函数解析式

将与x轴交点的横坐标x1、x2代入交点式中，得到$y=a(x-x1)(x-x2)$再将另一个点的坐标代入上式，求出a的值，从而确定二次函数的解析式设交点式：$y=a(x-x1)(x-x2)$(a≠0)已知与x轴交点及另一点求二次函数解析式

03二次函数图像变换规律

左加右减当函数图像向左平移时，x的取值会相应增加；当函数图像向右平移时，x的取值会相应减少。上加下减当函数图像向上平移时，y的取值会相应增加；当函数图像向下平移时，y的取值会相应减少。平移变换规律

将y替换为-y，图像关于x轴对称。关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称将x替换为-x，图像关于y轴对称。将x和y同时替换为-x和-y，图像关于原点对称。030201对称变换规律

通过改变x的系数来实现图像的横向伸缩。当系数大于1时，图像横向压缩；当系数小于1时，图像横向拉伸。横向伸缩通过改变y的系数来实现图像的纵向伸缩。当系数大于1时，图像纵向拉伸；当系数小于1时，图像纵向压缩。纵向伸缩伸缩变换规律

04二次函数在实际问题中应用

利润最大化在给定成本和销售价格的情况下，通过求解二次函数的最值，可以确定使得利润最大的生产数量。成本最小化在给定生产数量和成本函数的情况下，通过求解二次函数的最值，可以确定使得成本最小的生产方案。利润最大化和成本最小化问题

面积和体积最优化问题面积最优化在给定周长或其他限制条件下，通过求解二次函数的最值，可以确定使得面积最大或最小的图形形状和尺寸。体积最优化在给定表面积或其他限制条件下，通过求解二次函数的最值，可以确定使得体积最大或最小的立体形状和尺寸。

二次函数可以描述物体在重力作用下的抛物线运动，通过求解二次函数的最值和零点，可以确定物体的最大高度、飞行时间和落地距离等。抛物线运动二次函数可以描述简谐振动的位移、速度和加速度等物理量，通过求解二次函数的最值和周期，可以确定振动的振幅、频率和相位等参数。简谐振动运动学和动力学问题

05二次函数与一元二次方程联系与区别

二次函数与一元二次方程的定义二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数，而一元二次方程是形如$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）的方程。二次函数与一元二次方程的系数关系在二次函数中，系数$a$、$b$、$c$决定了函数的开口方向、对称轴和顶点等性质；在一元二次方程中，系数同样影响方程的解的情况。二次函数图像与一元二次方程解的关系二次函数的图像是一条抛物线，抛物线与$x$轴的交点即为一元二次方程的解。二次函数与一元二次方程关系梳理

通过观察二次函数的图像与$x$轴的交点情况，可以判断一元二次方程是否有实数解以及解的个数。判断方程解的情况利用二次函数的图像，可以直接读取或估算出一元二次方程的解。求解方程通过图像