第16章 二次根式 单元培优讲义 -2023-2024学年人教版数学八年级下册.docxVIP

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二次根式

单元培优核心考点

1．二次根式的定义

二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

①“”称为二次根号

②a（a≥0）是一个非负数；

学习要求：

理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．

2．二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．

（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

3．二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①≥0；a≥0（双重非负性）．

②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．

③＝|a|＝（算术平方根的意义）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．

＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1．常见题型：与分式的化简求值相结合．

2．解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．

4．最简二次根式

最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．

5．二次根式的乘除法

（1）积的算术平方根性质：＝?（a≥0，b≥0）

（2）二次根式的乘法法则：?＝（a≥0，b≥0）

（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）

（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）

规律方法总结：

在使用性质?＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．

6．分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

例如：①＝＝；②＝＝．

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．

一个二次根式的有理化因式不止一个．

例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．

7．同类二次根式

同类二次根式的定义：

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

合并同类二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．

【知识拓展】同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．

（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．

（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．

（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．

8．二次根式的加减法

（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

（2）步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

③合并被开方数相同的二次根式．

（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减