函数的值域求法集锦.doc

题型三：分式函数的值域

求函数的值域

解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令，原函数变为，由反比例函数的性质可知，值域为

解法二：反函数法，利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令，则，得到，可知

解法三：解析几何法。考虑数形结合，联想到分式表示两点间连线的斜率，则讲原函数写为，可以看成是两点连线的斜率，其中是动点，构成直线轨迹，则连线必须与相交，所以连线斜率不能是2，得到值域。

求函数在的值域

解法一：分离变量之后采用函数图像法，令，，原函数变为，可以画出的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为

解法二：反函数法，将代入中，求解不等式，可以得到值域范围。

解法三：解析几何法。，可以看成是两点连线的斜率，其中是动点，不在构成直线，而是构成在区间的线段，画出图像后观察可得斜率的范围为

求函数的值域

解法一：分离变量法，令，原函数变为

由均值不等式可知当，当，可以得到原函数的值域为

解法二：判别式法，令，则，整理得关于的一元二次方程，满足方程有解，该方程的判别式可得,即函数的值域为

解法三：解析几何法，，可以看成是两点之间连线的斜率，而是动点，恰好构成的轨迹，由图像可以看出，连线斜率的范围从而得到函数的值域。

求函数在的值域

解答：此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。令，，原函数变为

画出对勾函数的图像，可以得到的值域范围是，则最后函数的值域为

题型四：三角函数的值域

求函数的值域

解答：使用辅助角公式，，可知函数的值域为

求函数的值域

解答：先化简，都转为一次三角函数后使用辅助角公式，可知函数的值域为

求函数的值域

解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。

令，则原函数化为，则按前面的例题可得函数的值域为，

求函数的值域

解答：利用来换元。

令，则原函数化为，同理，按二次函数的值域求法，可得结果。

求函数的值域

解法一：辅助角公式法。类似于二次分式的判别式法，令，则可得，利用辅助角公式后，则要求，可解出值域范围

解法二：解析几何法。三角分式也可以看为，即两点连线的斜率，其中是动点，构成的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，根据图像可知，连线与圆相切时分别取到最大值和最小值，可得函数的值域

求函数在上的值域

解答：此时无法使用辅助角公式法，只能用解析几何法，动点构成的轨迹为右半圆，这样，可得结果

题型五：绝对值函数的值域

求函数的值域

解法一：零点分类讨论法。当时，；当时，；当时，。所以函数的值域为

解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴，分别表示到-5与1的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为

求函数的值域

解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令，则原函数化为，则根据数轴法，可以得到函数的值域为

题型六：根式函数的值域

求函数的值域

解法一：换元法，令，则原函数化为，根据二次函数值域的求法，可得原函数值域为。

解法二：解析几何法，令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过上的点，画出图像可知相切时截距最小，可得函数的值域

求函数的值域

解法一解法二同上一例题，注意换元时的等价性，结果

解法三：单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域，代入可得函数的值域。

求函数的值域

解法一：三角换元法，令，这样换元既可以保证换元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号，注意，画出三角函数图像可得值域为。

解法二：解析几何法，令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过，通过作图可以得到截距的范围，也就是函数的值域

求函数的值域

解法一：三角换元，类似于上一道题，令，这样可以得到，化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为

解法二：解析几何法，类似于上一道题，令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距的2倍，而直线必须通过即双曲线的上半支，通过作图可知相切时取得截距的最小值，得到值域。

解法三：对勾换元法，利用进行换元，令，则原函数化为，根据均值不等式可得值域

求函数的值域

解答：先配方，可得，利用解析几何法，类比两点距离公式可以转化为到两点距离和，作图在利用两点间线段距离最短可以得到函数值域为。

部分练习

求下列函数的值域：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9．

10.

11.

12.

13．