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1.1空间向量及其运算(精讲)
思维导图
思维导图
常见考法
常见考法
考点一概念的辨析
【例1】(2020·全国高二课时练习)下列命题中,假命题是()
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
【答案】D
【解析】A.向量是有向线段,不能比较大小.真命题.
B.两向量相等:方向相同,模长相等.起点相同,则终点也相同.真命题.
C.零向量:模长为0的向量.真命题.
D.共线的单位向量是相等向量或相反向量.假命题.故选:D.
【举一反三】
1.(2020·全国高二课时练习)在下列命题中:
①若向量共线,则所在的直线平行;
②若向量所在的直线是异面直线,则一定不共面;
③若三个向量两两共面,则三个向量一定也共面;
④已知三个向量,则空间任意一个向量总可以唯一表示为.
其中正确命题的个数为()
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】此题考查向量的知识点;对于①:根据两向量共线定义知道,两向量共线有可能两向量所在的直线重合,所以此命题错误;对于②:两个向量可以平移到一个平面内,所以此命题错误;对于③:若三个向量两两共面,这三个向量有可能不共面,所以此命题错误;对于④:根据空间向量的基本定理知道,这三个向量要不共面才可以,所以此命题错误,所以选A
2.(2020·全国高二课时练习)在下列命题中:
①若、共线,则、所在的直线平行;
②若、所在的直线是异面直线,则、一定不共面;
③若、、三向量两两共面,则、、三向量一定也共面;
④已知三向量、、,则空间任意一个向量总可以唯一表示为.
其中正确命题的个数为()
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】①若、共线,则、所在的直线平行或重合;所以①错;
②因为向量是可以自由移动的量,因此即使、所在的直线是异面直线,、也可以共面;所以②错;
③若、、三向量两两共面,因为两平面的关系不确定,因此、、三向量不一定共面;所以③错;
④若三向量、、共面,若向量不在该平面内,则向量不能表示为,所以④错.
故选:A.
考法二空间向量的线性运算
【例2】2020·江西赣州.高二期中(理))在四面体中,点在上,且,为中点,则等于()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在四面体中,点在上,且,为中点,所以
,即.
故选:B.
根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化,一定要看最后是谁来表示。
根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化,一定要看最后是谁来表示。
【举一反三】
1.(2020·南昌市八一中学)如图,空间四边形中,,且,,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,又因为,
所以.故选:C
2.(2020·宝山.上海交大附中高二期末)在平行六面体中,M为与的交点,若,,则与相等的向量是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据空间向量的线性运算可知
因为,,则即,
故选:D.
3.(2019·张家口市宣化第一中学高二月考)如图,在空间四边形ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则+(-)等于()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】-=,,∴+(-).
故选C.
考点三空间向量的共面问题
【例3】(2020·全国高二)在下列条件中,使与,,一定共面的是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A选项,由于,所以不能得出共面.
对于B选项,由于,所以不能得出共面.
对于C选项,由于,则为共面向量,所以共面.
对于D选项,由得,而,所以不能得出共面.故选:C
与
与,,一定共面的充要条件是,
【举一反三】
1.(2020·全国高二)O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且,若P,A,B,C四点共面,则实数t=______.
【答案】
【解析】P,A,B,C四点共面,且,,解得.故答案为:
2.(2020·全国高二)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有,则x=________.
【答案】
【解析】已知且M,A,B,C四点共面,
则,解得x=
3.(2019·随州市第一中学高二期中)空间四点共面,但任意三点不共线,若为该平面外一点且,则实数的值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为空间四点共面,但任意三点不共线,对于该平面外一点都有,所以,解得.故选A
4.(2020·全国高二课时练习)已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量.,.求证:四点E,F,G,H共面
【答案】证明见解析
【解析】
∵;∴;
EF//AB,且EF=|k|AB;
同理H
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