协方差和相关系数.docx

§4.4协方差和相关系数

随机变量的数字特征，包括数学期望、方差、协方差和相关系数等。协方差和相关系数是考虑两个随机变量之间的某种关系。协方差的意义不太直观，它考察两个随机变量(随机向量)与各自均值之差的加权平均值，相关系数则是考虑两个随机变量取值之间的关系。

协方差

定义：对两个随机变量X、匕称E[(X-EX)(Y-EY)]为X与Y的协方差，记为Cov(X,Y)，即

CoVX,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

相关系数

定义：对两个随机变量X、Y，称

CoVX,Y)

/D(XD(Y)

为X与Y的相关系数或标准协方差，记为p，即

Cov(X,Y) XY

p=.

XYVD(XD(Y)

方差、协方差的运算性质

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)?E(Y)

推论：若随机变量X、Y独立，则

Cov(X,Y)=p=0

Problem:若Cov(X,Y)=p=0，则X、Y是否独立？

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)XY

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

Cov(X+X,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X,Y)

Cov(X-戈,Y)=Cov(X,Y)-Cov(戈,Y)

相关系数的性质 1 2

柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式：

对任意两个随机变量X、Y，若E(X2)8,E(Y2)8，贝寸

(E(XY))2E(X2)?E(Y2)

证明：对任意实数I，有

q(t)=E((X+tY)2)=E(X2)+12E(Y2)+2tE(XY)0

因此，二次方程q(t)=0的判别式

4(E(XY))2-4E(X2)?E(Y2)0

(E(XY))2E(X2)?E(Y2)

证毕。

设p为X与Y的相关系数，贝寸

IPxJ1

Ip、I=1的充要条件是X与Y完全线性相关，即

XY

P(Y=aX+b)=1,(a,b为某个常数)

证明：

={E[(X-EX)(Y-EY)]}2

PXy_ D(X)?D(Y)

,E[(X-EX)2]E[(Y-EY)2]1

=1

- D(X)?D(Y)

所以，IpI1。

IpI=10p2=10

E(X-EX)(Y-EY)]}2=D(X)?D(Y)

E[(X-EX)2]E[(Y-EY)2]

0q(t)=0的判别式=0,0q(t)=0有唯一实根t，即

0

E{[(X-EX)+t(Y-EY)]2}=0

0存在唯一的t使

D(X+tY)=0

0存在某个常数C使

P(X+tY=C)=1

0存在某个常数°a,b使

P(Y=aX+b)=1证毕。

若X与Y独立，则p=0，反之不一定成立。

相关系数的意义XY

当p=0时，称X与Y不相关。

当pXY=1时，称X与Y完全线性正相关，当p=-1时，称X与Y完全线性负相关，完全线性正相关和完全线性负相关统称完全线性相关(它们的取值在一条直线上)。

IpI越大，表示X与Y的线性相关的程度越大，即，它们的取值越接近在一条直线上。

举例

例1：设(X,Y)服从二维正态分布，其密度函数为

1-—e2(i-P2)TOC\o1-5\h\zp(x，

1

-—

e2(i-P2)

2兀bb.V1-p2求E(X),E(Y),D(X),D(Y),pxy0解：(X,Y)的边际分布为

1 _(*^

Px(X)=切e2b2

1

1 -(E2

PY(y)=BeS

2所以，E(X)=口1, E(Y)=口2 , D(X) = b2, D(Y)= b2。而

CoVX,Y)=f+sf+s(x-R)(y-R)p(x,y)dxd=

s-s 1 2 1

=J+sJ+s(x-R)(y_R) =^=

_s_s 1 22兀bbJT—p2

U^2 (LUy』②)*

U^2 (LUy』②)*(^2

。2 罕2可

_dxdy

?—e2(1-p2)

令：t= jn_p二)，u=n，则

TOC\o1-5\h\z21—2b b b

2、1P2 2 1 1

CoVX,Y)=-1J+sJ+s(bbJ1—p21-u+pbb