向量法求距离.ppt

第1页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三βdaaaabba有关距离的几个概念平行线间的距离da∥b异面直线间的距离ada、b是异面直线,d是a与b的距离。直线和平面的距离da∥a,d是a与a的距离。平行平面间的距离a∥β,d是a与β的距离。第2页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三1.空间两点间距离AB已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)|AB|=其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。第3页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三2.点到平面的距离已知AB为平面a的一条斜线段,n平面a的法向量.求证:A到平面a的距离||AB·n||nd=αBCAn证明：cos?,?ABn∵AB·n||n||AB=设C点为A在平面α内的射影。∠BAC=?,?ABn或∠BAC?,?ABn=π－∴cos∠BAC=cos?,?ABn||∴A到平面a的距离AC=AB·cos∠BAC=||·ABcos?,?ABn||=||·AB|AB·n|||n||AB||AB·n||n=第4页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三βa3.直线和它平行平面的距离n已知直线a∥平面β,求a到平面β的距离解：因a上的任意一点到平面β的距离都相等。所以直线和它平行平面的距离转化点到面的距离AB在a和平面β上分别任取一点A和Bn是平面β的一个法向量直线a和它平行平面β的距离为||AB·n||nd=第5页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三例1如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、CD的中点,求点B到截面AEC1F的距离。C1FECDBAA1B1D1解：以D为原点,如图所示建立直角坐标系。zyx则A(1,0,0),AE∴AF设面AEC1F的法向量为n=(1,λ,μ)∴AE·n=0AF·n=0第6页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三C1FECDBAA1B1D1zyxn∴=(1,2,－1)AB又∵=(0,1,0)所以B点到截面AEC1F的距离为：||AB·n||nd=第7页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三β3.异面直线间的距离aPAB已知异面直线a、b,求a、b之间的距离。ab解：过b上任一点P,作a’∥a不妨令a’、b确定的平面为β∴a∥β∴异面直线a、b之间的距离,转化直线a和它平行的平面β之间的距离∴可在a上任一点A,b上任一点B,n是平面β的一个法向量n∴a、b之间的距离||AB·n||nd=第8页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三a’∥an⊥βa’?β?βaPABabnn⊥aaba?n·a=0n⊥βb?β?n⊥bbab?n·b=0AB所以在求两条异面直线的距离时,只需在两条异面直线a、b上分别任取一点A、B。设与a、b的方向向量都垂直的向量为n则nn·a=0n·b=0异面直线间的距离∴a、b之间的距离||AB·n||nd=第9页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三[例1]在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C的距离。yxzC1DB1CDB1A1A解：如图所示建立直角坐标系，则A1(1,0,1),C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0)