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倒立摆基本原理

前言

倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都会有大量的优秀论文出现。

第一部分倒立摆系统介绍

一、倒立摆系统简介

倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变

倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在

主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。2、环形倒立摆系列环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。3、平面倒立摆系列平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是XY运动平台，另一类是两自由度SCARA机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。4、复合倒立摆系列复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是2中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。

二、数学模型的建立

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。

图SEQFigure\*ARABIC1直线一级倒立摆系统

M小车质量1.096Kg

m摆杆质量0.109Kg

b小车摩擦系数0.1N/m/sec

l摆杆转动轴心到质心长度0.25m

I摆杆惯量0.0034kg·m2

F加在小车上的力

x小车位置

?摆杆与垂直向上方向的夹角

?摆杆与垂直向下方向的夹角

图SEQFigure\*ARABIC2小车及摆杆受力分析----------N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量

小车水平方向的合力：M

摆杆水平方向的合力：

N=m

摆杆水平方向的运动方程：

M

摆杆力矩平衡方程：-

摆杆垂直方向的合力：

P-mg=m

摆杆垂直方向的运动方程：

I

用u来代表被控对象的输入力F，线性化后，两个运动方程如下(其中θ=π+φ)：

I

如果令a=x进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车加速度

把实际参数带入可得系统的实际模型为：

三倒立摆的发展历史及现状：

早在20世纪60年代，人们就开始了对倒立摆系统的研究。1966年Schacfer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。到了20世纪60年代后期，倒立摆作为一个典型不稳定、非线性的例证被提出【1】。自此，对于倒立摆系统的研究便成了控制界关注的焦点。

倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义)；控制电机可以是单电机，也可以是多级电机。

目前有关倒立摆的研究主要集中在亚洲，如中国的北京师范大学、北京航空航天大学【2】、中国科技大学【3】；日本的东京工业大学、东京电机大学、东京大学；韩国的釜山大学、忠南大学，此外，俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东佛罗里达大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技