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人教版九年级上册数学期末几何探究压轴题专题训练
1.已知在中,,四边形是正方形,H为所在的直线与的交点.
问题解决:
(1)如图1,当点F在上时,请判断和的关系,并说明理由.
问题探究:
(2)如图2,将正方形绕点C旋转,当点D在直线右侧时,求证:;
问题拓展:
(3)将正方形绕点C旋转一周,当时,若,请直接写出线段的长.
??
2.问题发现:
如图1,在中,,,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:
(1)①的度数是______;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是______;
拓展探究:
(2)如图2,在中,,,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请写出的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由;
解决问题:
(3)如图3,在中,,,,若点A满足,,求线段AD的长度.
3.等腰和等腰如图1放置,,.
【问题探究】
(1)连接,于点O,请说明、的数量关系和位置关系;
【深入探究】
(2)如图2,连接,,若,,
①则.
②如图3,将等腰绕点A旋转,交于点F,当是直角三角形时,的长为;
【迁移应用】
(3)如图4,已知在平面直角坐标系中,O为坐标原点,,过点C作直线轴,点D是直线上的一个动点,线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段,则的最小值为.
4.如图,点O是等边内一点,,等于,将绕点C按顺时针方向旋转得,连接.
(1)求证:是等边三角形;
(2)求的度数;
(3)若,请探究:当为多少度时,是等腰三角形.
5.【基础复习】如图1,将绕着点A逆时针旋转一定角度,得到,连接,,请写出你发现的结论________.(至少写出两个,不再添加辅助线)
【类比探究】如图2,在正方形中,F是上的一点.连接,将绕点A顺时针旋转,设F点旋转后的对应点为E,连接,补全旋转后的图形.判断的形状,并说明理由.
【拓展拔高】如图3,在正方形的内部,作,交于点E,交于点F,连接,求证:.
??
6.【探究与证明】
活动课上,同学们以“图形的旋转”为主题进行探究.
【问题情境】
如图①,在矩形中,.将边绕点逆时针旋转得到线段,过点作交直线于点.
【猜想证明】从特殊到一般
(1)当时,四边形的形状为;(直接写出答案)
(2)如图②,当时,连接,求此时的面积;
(3)如图③,连接,请找出其中的全等三角形并证明;
(4)是否存在,使点三点共线?若存在,请求出此时的长度;若不存在,请说明理由.
7.综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一,在研究三角形的旋转过程中,发现下列问题:如图1,在中,,,D,E分别为,边上一点,连接,且,将绕点A在平面内旋转.
(1)观察猜想
若,将绕点A旋转到如图2所示的位置,则与的数量关系为;
(2)类比探究
若,将绕点A旋转到如图3所示的位置,,相交于点O,猜想,满足的位置关系,并说明理由;
(3)拓展应用
如图4,在(2)的条件下,连结,分别取,,的中点M,P,N,连结,,,若,,请直接写出在旋转过程中面积的最大值.
8.小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题做如下探究:
【问题背景】
如图①,在四边形中,,,探究线段之间的数量关系.小明同学探究此问题的思路是:将绕点D逆时针旋转到处,点B、C分别落在点A、E处(如图②),易证点C、A、E在同一条直线上,并且是等腰直角三角形,所以,从而得出结论:.
??
【理解图形】
(1)在图①中,若,则.
【提升应用】
(2)如图③,,,若,求的长.(用含a、b的代数式表示).
(3)如图④,,点P为的中点,若点E满足,,点Q为的中点,则.
9.【问题探究】
??
(1)如图1,锐角中,分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角,使,,,连接,,请判断与的数量关系,并说明理由.
【深入探究】
(2)如图2,四边形中,,,,求的值;甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形,将进行转化再计算,请你准确的叙述辅助线的作法,再计算;
【变式思考】
(3)如图3,四边形中,,,,,,则.(直接写出答案)
10.已知:边长为的正方形,的两边分别与射线、相交于点,且,连接.求证:.
??
(1)思路分析:如图1,正方形中,,,把绕点逆时针旋转至,则、、在一条直线上,_________度,(填空:直接写结果)
……
根据全等三角形判定定理,可证:.
(2)类比探究:如图2,当点在线段的延长线上,探究、、之间存在的数量关系,并写出证明过程;
(3)拓展应用:如图3,在中,,在上,.若,,求线段、、围成的三角形的面积.
11.综合与实践
如图1,矩形的边,,将矩形绕点A逆时针旋转角得到矩形,与交于点H.
数学思考:(1)填空:图1
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