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专题1-5正方形基本型·母题溯源
TOC\o1-3\h\z\u模型解读 2
【模型一】中点+折叠 2
【模型二】双中点(十字架模型拓展) 4
【模型三】对角线模型 12
【模型四】半角模型(七个性质) 12
题型一中点+折叠模型 16
题型二双中点模型(十字架拓展) 17
2023·东营·中考真题 17
2203·绥化·中考真题 18
题型三对角线模型 20
2023·攀枝花·中考真题 22
2023·四川宜宾·统考中考真题 22
题型四半角模型(七个性质) 23
2023·重庆·中考真题 23
2023·眉山·中考真题 23
2022达州·中考真题 24
模型解读
【模型一】中点+折叠
性质一:;性质二:F,G为中点;性质三:;性质四:;
性质五:;性质六:
性质一证明:
性质二证明:G是BC中点
性质三,四证明:HL全等
性质五证明:勾股,或“12345”模型
【12345模型说明】易知, ,故,记
性质六证明:12345模型
【模型二】双中点(十字架模型拓展)
(1)知2推1:①M中点;②N是中点;③AM⊥DN
(2)已知:M是中点,N是中点,连接CE并延长,交AD于F
①求_________
证明:EC平分∠NEM
求
【解析】
证明:法一:角平分线逆定理 法二:旋转相似(手拉手模型)
法三:四点共圆
法一:角平分线定理
法二:12345模型(正切和角公式)
(3)已知:M,N是中点,O是中心,连接OE,①求DE:EG:GN;②证∠OEC=90°
【解析】第一问
【解析】第二问
法一:由(2)可知∠NEC=45°,故构造手拉手模型可得△黄≌△黄(SAS),从而可得∠NEO=45°,得证
或者换个方向也可以,像这种方方正正的图形也可以试试建系
法二:四点共圆 法三:补成玄图易知∠OEG=45°
(4)已知:M,N是中点,连接BE,证BE=CD
【解析】法一斜边上的中线等于斜边一般
法二:过AD的中点P作AE垂线,交AM于Q,可得Q是AE中点,则BQ垂直平分AE,故AB=BE
法三:对角互补得四点共圆,导角得等腰
法四:勾股定理,由(2)可知DE:NE=2:3,设值求值即可
(5)已知:M,N是中点,连接BE,AH⊥BE于H,交DN于K,证AK=CD
【解析】法一:构造玄图导等腰
法二:四点共圆
法三:建系求坐标(略)
【模型三】对角线模型
【模型四】半角模型
如图,已知ABCD为正方形,∠FAE=45°,对角线BD交AE于M,交AF与N,AG⊥EF
5个条件知1推4
∠EAF=45°
,AH=AB
AE平分∠BEF
AF平分∠DFE
【性质
【性质一】5个条件知1推4(全等)
【性质二】(勾股证)
【性质三】∠MGN=90°
【性质四】;;(2组子母,1共享型相似)
【性质五】△ANE,△AMF,是2个隐藏的等腰直角三角形(反8字相似或四点共圆)
【性质六】△AMN∽△AFE,且相似比为(用全等导角)
【性质七】(旋转相似)
【性质一】DF+BE=EF
易证△ABE≌△AGE,易证△AGF≌△ADF
【性质二】简证,如图
【性质三】∠MGN=90°简证,如图:两组全等
【性质四】;;(2组子母,1共享型相似)
简证③,如图
SABCD=BN·DM(共享型相似)
∠1=45°+∠2=∠BAN?△BAN∽△DMA?BN?DM=AB?AD
【性质五】△ANE,△AMF,是2个隐藏的等腰直角三角形
简证,以△ANE为例,△AMF方法相同
法一:两次相似△AMN∽△BME??△BMA∽△EMN?∠ABM=∠NEM=45°
法二:ABEN四点共圆,对角互补∠ABE+∠ANE=180°或∠ABN=∠AEN
【性质六】△AMN∽△AFE,且相似比为
先证相似,易知∠1=∠2=∠3,故相似成立
相似比为:
【性质七】
?
?
重点题型·归类精练
重点题型·归类精练
题型一中点+折叠模型
1.如图,在边长4的正方形中,是边的中点,将沿直线折叠后,点落在点处,再将其打开、展平,得折痕.连接、、,延长交于点.则下列结论:①;②;③;④,其中正确的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,正方形中,,点在边上,,将沿对折至,延长交边于点,连接,,给出以下结论:①;②;③;④.其中所有正确结论的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,矩形中,,,为中点,为上一点,将沿折叠后,点恰好落到上的点处,则折痕的长是.
题型二双中点模型(十字架拓
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