中考数学模型 专题2.1 将军饮马最值问题（学生版+解析版）.docx

专题2-1将军饮马等8类常见最值问题

TOC\o1-3\n\h\z\u题型一两定一动型（线段和差最值问题）

题型二双动点最值问题（两次对称）

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）

题型四垂线段最短

题型五相对运动平移型将军饮马

题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马

题型七化斜为直，斜大于直

题型八构造二次函数模型求最值

一、单动点问题

【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小

问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB

【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小

问题解决：作B关于l的对称点B?PB＝PB，则PA＋PB＝PA＋PB，当A，P，B共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB

【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大

问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大

原理：三角形两边之和大于第三边，在△ABP中，|PA－PB|≤AB

【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大

问题解决：作B关于直线l的对称点B?PB＝PB，|PA－PB|＝|PA－PB|

原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB，在△ABP中|PA－PB|≤AB

二、双动点问题（作两次对称）

【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小

问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P，PM＝PM，PN＝PN，

原理：两点之间线段最短，P，P，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段PP的长

【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小

问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q，PM＝PM，QN＝QN

原理：两点之间线段最短，连接PQ，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段PQ的长，周长最小值为PQ＋PQ

【问题7】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值

问题解决：分别作，关于，的对称点，，则，，即所求

原理：两点之间距离最短，A，N，M，B共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝AN＋MN＋BM≤AB

三、动线段问题（造桥选址）

【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值

问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B，连接BM，当ABM共线时有最小值

原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋BM≤AB＋MN

【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值

问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B关于直线l的对称点B，当共线有最小值

原理：通过平移构造平行四边，

四、垂线段最短

【问题10】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小

问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求

原理：点到直线，垂线段最短，

五、相对运动，平移型将军饮马

【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值

问题解决：相对运动或构造平行四边形

策略一：相对运动思想

过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题

策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.

六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹

【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？

问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．

原理：由手拉手可知，故,故Q点轨迹为直线

七、化斜为直，斜大于直

【问题13】已知：是斜边上的高

（1）求的最大值；（2）若，求的最大值

问题解决：取BC中点M，（1）则；（2）

八、构造二次函数求最值

这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．

【问题14】正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为.

问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案