中考数学模型 专题1.3 “12345”模型（学生版+解析版）.docx

专题1-3“12345”模型·选填压轴必备大招（共3种类型）

目录

TOC\o1-3\h\z\u知识点梳理 1

例题演练 4

【例1·性质一】 4

2022黔东南州 5

【例2·性质二】：“345”三角形与倍半角 7

【例3·其它角的配凑】 9

【压轴题实战篇】一题多解 9

重点题型·归类精练 12

题型一：【性质一】·专练 12

2022乐山 12

2021宜宾 12

2022黔东南州中考数学真题 13

题型二【性质二】解题：“345”三角形与倍半角 23

2023·湖北黄冈·统考中考真题 24

2022·四川泸州·统考中考真题 29

2022北部湾经济区 30

2023·四川广元·统考中考真题 38

2023·呼和浩特·中考真题 38

题型三：其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用 40

2023·内蒙古·统考中考真题 40

深圳中考真题 43

知识点梳理

导语：在众多几何模型中，“12345”模型就像夜空中的木星一样明亮而璀璨，是中考解题的顶级神器，需要我们不断钻研、锤炼。初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直角二角形中，345的三角形比含有30°的直角二角形的1：：2以及含有45°的直角三角形的1：1：更加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2：及1：3：)，综合性非常大，深受命题老师的喜爱。

12345模型介绍：若，，

【性质一】； 【性质二】； 【性质三】；

【简证】

如图，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝

【图解】

如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，DC＝2，AD的长为 .

第2题 第3题

A（0,6）B（3,0）在x轴上有一点P，若∠PAB=45°，则P点坐标为.

【“123”+“45”的来源】——构造倍半角

（一）基本模型

A

A

B

C

D

E

已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在CA的延长线上，点E在CB的延长线上，且AD＝BE＝AB．

结论1：∠D＋∠E＝45°．

结论2：tan2∠D＝，tan2∠E＝．

结论3：tan∠D＝，tan∠E＝．

因为在，，45°中出现数字12345，所以这种模型叫做12345模型．

（二）结论推导

结论1：∠D＋∠E＝45°

证明：∵AD＝BE＝AB，∴∠ABD＝∠D，∠BAE＝∠E，

∴∠BAC＝2∠D，∠ABC＝2∠E．

∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，

∴2∠D＋2∠E＝90°，∴∠D＋∠E＝45°．

结论2：tan2∠D＝，tan2∠E＝．

证明：∵∠ACB＝90°，∴tan2∠D＝tan∠BAC＝＝，

tan2∠E＝tan∠ABC＝＝．

结论3：tan∠D＝，tan∠E＝．

证明：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，

∴AD＝BE＝AB＝5，∴CD＝8，CE＝9，

∴tan∠D＝＝＝，tan∠E＝＝＝．

（三）解题技巧

如果题目中出现角的正切值或直角三角形的两条直角边的比为，，，，或45°配，时（对于角α和β，若满足α＋β＝45°，tanα＝，则一定有，tanβ＝，并且这三个式子，只要满足其中任意两个，都可以推出第三个），则考虑使用12345模型，将45°，90°，135°这几个特殊的角度联系起来，简化此类选择题或填空题的运算．12345模型在中考题中常以选择题或填空题的形式出现

除此之外，还能得出，你看出来了吗？

【补充】其它角度配凑与正切和差公式

“”＋45°＝“”和“”＋45°＝“”

正切和差公式：

实战练习例题演练

实战练习

【例1·性质一】

如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE长是()

A．1????B．1.5????C．2????D．2.5

【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．

A

A

D

B

C

E

F

2022黔东南州

【变式1-2】如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中