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第3章频域中的离散时间信号连续和离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换定理连续时间信号的数字处理

傅立叶1768-1830(Fourier,JeanBaptisteJoseph)法国数学家、物理学家最早使用定积分符号改进符号法则、根数判别方法傅立叶级数创始人1807《热的传播》推导热传导方程中发现解函数可以由三角函数级数构成的级数形式表示1822《热的分析理论》傅立叶级数、分析等理论1、连续和离散时间傅里叶变换

傅立叶分析方法的历史古巴比伦人“三角函数和”描述周期性过程、预测天体运动1748年欧拉振动弦的形状是振荡模的线性组合1753年D·伯努利弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示1759年拉格朗日不能用三角级数来表示具有间断点的函数

1822年傅立叶“热的分析理论”中提出并证明周期函数的正弦级数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础1829年P.L狄里赫利周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件19-20世纪两种傅立叶分析方法--连续与离散1965年CooleyTukey(IBM)发明FFT算法

四种常用的傅立叶变换时域频域离散连续离散时间傅立叶变换连续连续连续时间傅立叶变换离散离散离散傅立叶变换连续离散连续时间傅立叶级数

连续时间傅立叶变换(FT)﹤﹥x(t)X(jΩ)正变换反变换正变换分解(提取)反变换合成(还原)条件有限个不连续点绝对可积

引例时域和弦中音CEG频域如何分解出CEG分量？傅立叶变换的物理意义

滤波相乘中音C每个频率分量？频域滤波器时域卷积

频率为Ω分量幅度频率Ω通带

变窄x(t)xΩ(t)滤波器

频域

频率幅度Ω时域

单位冲击响应

与t无关常数x(t)xΩ(t)

非周期连续时间信号??非周期连续频率函数常见信号频谱

连续时间傅立叶级数(FS)周期正变换反变换收敛性抽样定理

周期连续时间信号??非周期离散频谱函数常见信号频谱

离散时间傅里叶变换(DTFT)正变换反变换

非周期离散信号??周期连续频率函数常见信号频谱

DTFT频谱的性质：1.模与幅角

2.对于实序列

证明：

复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系序列离散时间傅立叶变换对称关系

实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系序列离散时间傅立叶变换对称关系注:和分别代表着的偶部和奇部

DTFT的收敛条件（convergence) 如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在

例：低通滤波器能量有限，但不绝对可和

2、均方收敛

周期冲激串periodicimpulsetrain

2、DTFT的性质1.线性

2.时间反转证明：m=-n

3.时移证明m=n-n0幅度(功率)谱不变仅影响相位谱

解：傅立叶反变换v[n]

4.频移证明：调频广播、频率调制

5.频域微分证明：

6.卷积证明：m=n-k

7.调制定理(也称为加窗定理)证明

高频例：幅度调制低频0-ππ幅度频率幅度0-ππ-ωoωo频率

低通滤波解调低频高频

例：加窗无限长序列窗函数加窗后频谱产生失真测不准原理：时域分辨率*频域分辨率常数

加窗实例频谱频谱加窗后频谱产生失真正弦序列

8.帕斯瓦尔公式证明：

时域的能量等于频域的能量称为能量谱密度特例：

采样量化A/D与D/A转换3、连续时间信号的数字处理抗混叠滤波器A/D变换器数字信号处理器D/A变换器抗镜像滤波器模拟模拟理想抽样器离散时间信号处理器理想内插器

2.1采样（Sampling抽样）

采样导致信号丢失能否从采样点中找回丢失？能否无失真恢复原始连续信号？

两点采样即可代表直线

三点采样即可代表圆外心=圆心

n+1个点可以无失真恢复n次多项式的曲线如果加以限制可以用有限、离散的点代表全部信号

对信号的什么加以限制，可以无失真的采样？

频率范围是信号重要特征

实际信号一般都是带宽受限信号音乐：20Hz～22kHz，CD采样频率44.1KHz：中音1的1万倍1个高八度—倍频电话声音：300Hz-3400Hz，电话采样频率为8KHz

特例：白噪声，带宽无限随机信号，整体性能

采样的参数TS：采样周期samplingperiodfS：采样频率samplingfrequency

采样定理(samplingtheorem)：