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2.2探索直线平行的条件
第1课时利用同位角判定两条直线平行
1.理解并掌握同位角的概念,能够判定同位角并确定其个数;
2.能够运用同位角相等判定两直线平行;(重点,难点)
3.理解并掌握平行公理及其推论,能够运用其解决实际问题.
一、情境导入
数学来源于生活,生活中处处有数学,观察下面的图片,你发现了什么?
以上的图片中都有直线平行,这将是我们这节课学习的内容.
二、合作探究
探究点一:同位角
【类型一】判断同位角
下列图形中,∠1和∠2不是同位角的是()
解析:选项A、B、D中,∠1与∠2在截线的同侧,并且在被截线的同一方向,是同位角,即在图中可找到形如“F”的模型;选项C中,∠1与∠2没有公共直线,不是同位角.故选C.
方法总结:判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法:①把两个角在图中“描画”出来;②找到两个角的公共直线;③观察所描的角,判断所属“字母”类型是否为“F”型.
【类型二】数同位角的个数
如图,直线l1,l2被l3所截,则同位角共有()
A.1对B.2对
C.3对D.4对
解析:图中同位角有:∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8共4对.故选D.
方法总结:数同位角的个数时,应从各个方向逐一观察,避免重复或漏数.
探究点二:利用同位角判定两直线平行
如图,直线AB、CD分别与EF相交于点G、H,已知∠1=70°,∠2=70°,试说明:AB∥CD.
解析:要说明AB∥CD,可转化为说明∠1与其同位角相等,这由∠2的对顶角容易证出.
解:因为∠2=∠EHD(对顶角相等),又因为∠2=70°,所以∠EHD=70°.因为∠1=70°,所以∠EHD=∠1,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
方法总结:本题考查的是平行线的判定,熟知“同位角相等,两直线平行”是解答此题的关键.
探究点三:平行公理及其推论
【类型一】应用平行公理及其推论进行判断
有下列四种说法:
(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;(2)同一平面内,过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直;(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短;(4)平行于同一条直线的两条直线平行.其中正确的个数是()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析:根据平行公理、垂线的性质进行判断.(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,正确;(2)同一平面内,过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直,正确;(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,正确;(4)平行于同一条直线的两条直线平行,正确.正确的有4个.故答案为D.
方法总结:平行线公理和垂线的性质两者比较相近,特别注意,对于平行公理中,必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线,过直线上一点不能做已知直线的平行线.但垂线的性质中,无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线.
【类型二】应用平行公理进行推论论证
四条直线a,b,c,d互不重合,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么直线a,d的位置关系为________.
解析:由于a∥b,b∥c,根据平行公理的推论得到a∥c,而c∥d,所以a∥d.故答案为a∥d.
方法总结:平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据.
【类型三】平行公理推论的实际应用
将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开,折痕为EF,把长方形ABEF平摊在桌面上,另一面CDFE无论怎样改变位置,总有CD∥AB存在,为什么?
解析:根据平行公理的推论得出答案即可.
解:∵CD∥EF,EF∥AB,∴CD∥AB.
方法总结:利用平行公理的推论进行证明时,关键是找到与要证两条直线都平行的第三条直线进行说明.
三、板书设计
1.同位角的概念
2.运用同位角判定两条直线平行:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
3.平行公理及其推论:
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.
解决几何题时,重在分析,应结合图形熟识题目给出的已知条件.本节课的易错点是学生对同位角的识别,对同位角个数的计算,应多加强练习,在不断纠错中提高
第2课时利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
1.理解并掌握内错角和同旁内角的概念,能够识别内错角和同旁内角;
2.能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行.(重点,难点)
一、情境导入
观察下列图形:
猜想其中任意两条直线的位置关系,想想如何证明你的猜想.
二、合作探究
探究点一:内错角与同旁内角
【类型一】判断内错角、同旁内角
如图,下列说法错误的是()
A.∠A与∠B是同旁内角
B.∠3与∠1是同旁内角
C.∠2与∠3是内错角
D.
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