中考数学模型 专题2.2 费马点与加权费马点模型（学生版+解析版）.docx

专题2-2费马点与加权费马点详细总结

TOC\o1-3\f\n\h\z\u知识点梳理

【常规费马点】

【加权费马点】

题型一普通费马点最值问题

题型二加权费马点·单系数型

题型三加权费马点·多系数型

知识点梳理

【常规费马点】

【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，

当的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数.

【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC，∴PA＋PB＋PC＝P’A’＋PB＋PP’，

如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120°

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：

对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心；

对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．

【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时）

【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．

【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

【加权费马点】

如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。

【类型一单系数类】

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120°

另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值

【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P为三角形ABC内部一点，求的最小值

【类型二多系数类】

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：

1.?将最小系数提到括号外；

2.?中间大小的系数确定放缩比例；

3.?最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。

【例3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________

【练习3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则的最小值为________．

题型一普通费马点最值问题

（2021滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一点，则的最小值为_________．

C

C

A

B

P

问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．

如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

已知，在△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝4，AB＝点P是△ABC内一动点，则PA＋PB＋PC的最小值为________

如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．

A、B、C、D四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，则应当如何修建？最小长度是多少？

2023·随州中考真题

1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大