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2.1两条直线的位置关系
第1课时对顶角、补角和余角
1.理解并掌握对顶角的概念及性质,会用对顶角的性质解决一些实际问题;
2.理解并掌握补角和余角的概念及性质,会运用其解决一些实际问题.(重点,难点)
一、情境导入
如图,若把剪刀看成是两条相交的直线构成的,那么形成的角中小于平角的角有几个,你能发现它们之间的联系吗?
二、合作探究
探究点一:对顶角及其性质
【类型一】对顶角的概念
下列图形中,∠1与∠2是对顶角的是()
解析:选项A中的两个角的顶点没有公共;选项B、D中的两个角的两边没有在互为反向延长线的两条直线上,只有选项C中的两个角符合对顶角的定义.故选C.
方法总结:对顶角是由两条相交直线构成的,只有两条直线相交时,才能构成对顶角.
【类型二】直接运用对顶角的性质求角度
如图,直线AB、CD,EF相交于点O,∠1=40°,∠BOC=110°,求∠2的度数.
解析:结合图形,由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数,根据“对顶角相等”可得∠2的度数.
解:因为∠1=40°,∠BOC=110°(已知),所以∠BOF=∠BOC-∠1=110°-40°=70°.因为∠BOF=∠2(对顶角相等),所以∠2=70°(等量代换).
方法总结:两条相交直线构成对顶角,这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论.在图形中正确找到对顶角,利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系,然后结合已知条件进行转化.
探究点二:补角和余角
【类型一】利用补角和余角计算求值
已知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数.
解析:根据∠A与∠B互余,得出∠A+∠B=90°,再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,从而得到∠A=3∠B+30°,再把两个算式联立即可求出∠2的值.
解:∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,∴设∠B=x,∴∠A=3∠B+30°=3x+30°,∴3x+30°+x=90°,解得x=15°,故∠B的度数为15°.
方法总结:此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问题,利用方程来解决.
【类型二】补角、余角和角平分线的综合计算
如图,已知∠AOB在∠AOC内部,∠BOC=90°,OM、ON分别是∠AOB,∠AOC的平分线,∠AOB与∠COM互补,求∠BON的度数.
解析:根据补角的性质,可得∠AOB+∠COM=180°.根据角的和差,可得∠AOB+∠BOM=90°.根据角平分线的性质,可得∠BOM=eq\f(1,2)∠AOB.根据解方程,可得∠AOB的度数.根据角的和差,可得答案.
解:∵∠AOB与∠COM互补,∴∠AOB+∠COM=180°,即∠AOB+∠BOM+∠COB=180°.∵∠COB=90°,∴∠AOB+∠BOM=90°.∵OM是∠AOB的平分线,∴∠BOM=eq\f(1,2)∠AOB,即∠AOB+eq\f(1,2)∠AOB=90°,解得∠AOB=60°,∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°+60°=150°.∵ON平分∠AOC得∠AON=eq\f(1,2)∠AOC=eq\f(1,2)×150°=75°.由角的和差,∴∠BON=∠AON-∠AOB=75°-60°=15°.
方法总结:本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识,利用了补角的性质,角的和差,角平分线的性质进行计算,解决问题一定要结合图形认真分析,做到数形结合.
【类型三】补角和余角的性质
如图,将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1)如图①,若CE是∠ACD的角平分线,那么CD是∠ECB的角平分线吗?并简述理由;
(2)如图②,若∠ECD=α,CD在∠BCE的内部,请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等?并简述理由;
(3)在(2)的条件下,请问∠ECD与∠ACB的和是多少?并简述理由.
解析:(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD=90°,∠ECB=90°.再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可;(2)∠ACE与∠DCB相等,根据“等角的余角相等”即可得到答案;(3)根据角的和差关系进行等量代换即可.
解:(1)CD是∠ECB的角平分线.理由如下:∵∠ACD=90°,CE是∠ACD的角平分线,∴∠ECD=45°.∵∠ECB=90°,∴∠DCB=90°-45°=45°,∴∠ECD=∠DCB,∴CD是∠ECB的角平分线;
(2)∠ACE=∠DCB.理由如下:∵∠ACD=90°,∠BCE=90°,∠ECD=α,∴∠ACE=90°-α,∠DCB=90°-α,∴∠ACE=∠DCB;
(3)∠ECD+∠ACB=180°.理由如下:∠ECD+∠ACB=∠ECD+∠ACE+∠ECB=∠ACD
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