求数列通项公式的十种方法[1].doc

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求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

二、利用

例2．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数

，.求数列的通项公式；

解：

……2分当

当……4分

练习：1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3

又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0

∵an+an－10，∴an－an－1=5(n≥2)

当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;

当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3

2．（2006年全国卷I）设数列的前项的和

，

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，，证明：

解：（I），解得：

所以数列是公比为4的等比数列

所以：

得：（其中n为正整数）

（II）

所以：

三、累加法

例3已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例4已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

所以

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例5已知数列满足，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，

则，故

因此，

则

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

四、累乘法

例6已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例7已知数列满足，求的通项公式。

解：因为 ①

所以 ②

用②式－①式得

则

故

所以 ③

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。

五.构造等差或等比或

例8（2006年福建卷）已知数列满足

求数列的通项公式；

解：

是以为首项，2为公比的等比数列。

即

例9．已知数列中，,，求。

解：在两边乘以得：

令，则,解之得：

所以

练习. 已知数列满足，且。

（1）求；

（2）求数列的通项公式。

解： （1）

（2）

∴

六、待定系数法

例10已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设 ④

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤

由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

例11已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设 ⑥

将代入⑥式，得

整理得。

令，则，代入⑥式得

⑦

由及⑦式，

得，则，

故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

例12已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设⑧

将代入⑧式，得

，则

等式两边消去，得，

解方程组，则，代入⑧式，得

⑨

由及⑨式，得

则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

七、对数变换法

例13已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩

设 eq\o\ac(○,11)

将⑩式代入eq\o\ac(○,11)式，得，两边消去并整理，得，则

，故

代入eq\o\ac(○,11)式，得eq\o\ac(○,12)

由及eq\o\ac(○,12)式，

得，

则，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系