2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中一线三等角模型.docx

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一线三等角

相似三角形判定的基本模型

A字型 X字型 反A字型 反8字型

母子型 旋转型 双垂直 三垂直相似三角形判定的变化模型

A

D B C E

一线三等角型相似三角形

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题

【例1】如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° A

求证：△BDE∽△CFD

当BD=1，FC=3时，求BE

E F

B D C

【例2】如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B， A

求证：△BDE∽△DFE

F

E

B D C

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；

求证：△ABP∽△PCM；

设BP=x，CM=y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．

当△APM为等腰三角形时，求PB的长．

A

M

B P C

【例4】（1）在?ABC中，AB?AC?5，BC?8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重

合），且保持?APQ??ABC. A

Q

①若点P在线段CB上（如图），且BP?6，求线段CQ的长；

B P C

②若BP?x，CQ?y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的

定义域；

（2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P、Q分别在直．线．CB、DC上

（点P不与点C、点B重合），且保持?APQ?90?.

当CQ?1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.

A D

A

B

备用图

C

B C

图12

点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。

【例5】已知：菱形ABCD,AB=4m,∠B=60°,点P、Q分别从点B、C出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒

连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由。

当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点K.求AK的长。

当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若

AN=1,求S .

△EPF

A D A D A D

Q

B P C

K Q

B P C B C

【应用】

1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．

直接写出点B的坐标 ．

当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且BD:AD=3:2

，求点P的坐标．

2、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．

如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；

如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②

当S

?DMF

?9S

4

A

?BEP

时，求BP的长．

D A D

E E

P

（第25题图）

B C

（备用图）

模型训练：

如图，在△ABC中，AB?AC?8，BC?10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且?ADE??C．

求证：△ABD∽△DCE； A

如果BD?x，AE?y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；

当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由． E

B D C

已知：如图，在△ABC中，