2003考研数四真题及解析.docx

精心整理

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2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1)极限

2= .

lim[1?ln(1?x)]x

x?0

(2)

?1

?1

= .

(x?x)e?xdx

设

，

a?0

?a,若0?x?1,而

f(x)?g(x)??

?0, 其他，

表示全平面，则

D

= .

I??? f(x)g(y?x)dxdy

D

设

A,B

,

均为三阶矩阵，

?2 0 2?,则

是三阶单位矩阵.已知

E

? ?AB?2A?B B??0 4

? ?

??2 0 2??

= .

(A?E)?1

设

n

维向量

；为

??(a,0, ,0,a)T,a?0 E n

阶单位矩阵，矩阵

，

A?E???T

B?E?

1??T，

a

其中的逆矩阵为

A

，则 .

B a?

设随机变量

X

和的相关系数为

Y

0.5,

,

EX?EY?0

EX2

?EY2

,则 =.

?2 E(X?Y)2

二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，

下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

曲线

1()

y?xex2

仅有水平渐近线.(B)仅有铅直渐近线.

(C)既有铅直又有水平渐近线.(D)既有铅直又有斜渐近线.

设函数

f(x)?x3?1?(x)

，其中

?(x)

在

x?1

处连续，则 是

?(1)?0

f(x)

在

x?1

处可导的()

充分必要条件.(B)必要但非充分条件.

(C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条

件.

设可微函数正确的是()

f(x,y)

在点

(x,y)

0 0

取得极小值，则下列结论

(A)

在

f(x,y)

y?y

处的导数等于零.(B)

在

f(x,y)

处

y?y

0 0

0 0 00

(C)

在

f(x,y)

y?y

处的导数小于零.(D)

在

f(x,y)

处

y?y

0 0 0 0的导数不存在

0 0 0 0

B ? ?? 0 1 0设矩阵 ?0 0

B ? ?? 0 1 0

? ?

??1 0 0??

相似于

A

，则秩

B

与

(A?2E)

秩

(A?E)

之和等于()

(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.

对于任意二事件

和()

A B

若

能独立.

(C)若

不独立.

AB??

AB??

，则

A,B

，则

A,B

一定独立.(B)若

一定独立.(D)若

，则

AB??

，则

AB??

有可

A,B

一定

A,B

设随机变量

X

关，则()

和都服从正态分布，且它们不相

Y

(A)

X

与一定独立.(B)(

Y X

, )服从二维正态分布.

Y

(C)

X

与未必独立.(D)

Y X

+服从一维正态分布.

Y

三、(本题满分8分)

设 1 1 1

1 试补充定义 使得 在1

f(x)??x?sin?x??(1?x),x?[2,1).

上连续.

四、(本题满分8分)

f(1)

f(x)

[ ,1]

2

设

f(u,v)

具有二阶连续偏导数，且满足?2f ?2f ，又

? ?1

1,

1

g(x,y)?f[xy, (x2?y2)]

2

求?2g ?2g

? .

?x2 ?y2

?u2

?v2

五、(本题满分8分)

计算二重积分其中积分区域

D?{(x,y)x2?y2

六、(本题满分9分)

??}.

设 ，

a?1

f(t)?at

at

在

(??,??)

内的驻点为

问

t(a). a

为何值

时，

t(a)

最小？并求出最小值.

七、(本题满分9分)

设

y?f(x)

是第一象限内连接点

A(0,1),B(1,0)

的一段连续

曲线，

M(x,y)

为该曲线上任意一点，点为

C M

在轴上的

x

投影，

O

为坐标原点.若梯形

OCMA

的面积与曲边三角形

CBM

的面积之和为x3 1，求

?

6 3

f(x)

的表达式.

八、(本题满分8分)

设某商品从时刻

0

到时刻

t

的销售量为

，

x(