2018高中数学北师大版选修44同步配套教学案第一章 §2 21amp;22.docx

§2 极_坐_标_系

2．12.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化

[对应学生用书P5]

[

[自主学习]

极坐标系的概念(1)极坐标系：

在平面内取一个定点O，叫作极点，自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)点的极坐标：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长，用θ表示以Ox为始边，OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

①特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值；

②点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一个点，如果规定ρ0,0≤θ2π或者－πθ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．

点的极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件：

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；

②极轴与x轴的正半轴重合；

③两种坐标系取相同的长度单位．

(2)极坐标与直角坐标的互化：

??x＝ρcosθ，

①将点M的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的关系式为? .

??y＝ρsinθ

②将点的直角坐标(x[合作探究]，y)化为极坐标(ρ，θ)的关系式为

??ρ2＝x2＋y2，

? y .

x??tanθ＝?x≠0?

x

极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？

提示：区别：平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而极坐标以角和距离为背景．

联系：二者都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．

点M(ρ，θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极轴的直线的对称点的坐标各为什么？

提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)．3．把直角坐标转化为极坐标时，表示方法唯一吗？提示：通常有不同的表示法．(极角相差2π的整数倍)

[对应学生用书P6]

由极坐标确定点

由极坐标确定点

的位置

? π? ?

3π? ?

π? ?

9π?

??[例1] 在极坐标系中，画出点A?1，?，B?2，2?，C?3，－

?

?

?，D?4，4?.

? ?? 4? ? ?

? ?

4? ? ?

[思路点拨] 本题考查极坐标系以及极坐标的概念，同时考查数形结合思想，

解答此题需要先建立极坐标系，再作出极角的终边，然后以极点O为圆心，极径为半径分别画弧，从而得到点的位置．

π π

4[精解详析] 在极坐标系中先作出线，再在线上截取|OA|＝1，这样可得

4

4

? π?

? 3π? ?

π? ?

9π?

4?到点A?1，?.同样可作出点B?2，2?，C?3，－

4?

?

?

?，D?4，4?，如图所示．

? 4?

? ? ? ?

? ? ? ?

由极坐标确定点的位置的步骤

取定极点O；

作方向为水平向右的射线Ox为极轴；

以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox

确定出极角的终边；

以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．