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习题5.1
判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．
答 是．
因为是通常意义的矩阵加法与数乘,所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.
由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵,所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭,构成实数域上的线性空间.
全体正实数R+,其加法与数乘定义为
a?aka?b
a?ak
其中a,b?R?,k?R
判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.
答 是. 设?,??R.
因为?a,b?R??a?b?ab?R?,
a?a?????R,a?
a?a??
R?,
所以R?对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律
(1) a?b?ab?ba?b?a;
(2) (a?b)?c?(ab)?c?(ab)c?abc?a(bc)?a?(b?c);
(3) R?中存在零元素1,?a?R?,有a?1?a?1?a;
a?a1???a??? a????a?????a???
a?a1?
??
a??? a????a?????a???????a
? ?
;
(5)1
a; (6)?
a?a???
a?a????a?a??a??a??? a?? a;
所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.
全体实n阶矩阵，其加法定义为
按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.
答 否.
?A?B与B?A不一定相等.
故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）,全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实
数域上的线性空间.
P2?2 ? ?
在 中，W? A/A?0,A?P2?2,判断W是否是P2?2的子空间.
答 否.
例如?1 2?和?1 1?的行列式都为零，但?2 3?的行列式不为零,也就是说集合对加法不封闭.
?1 2?
?3 3?
?4 5?
? ? ? ? ? ?
习题
讨论P2?2中的线性相关性.
11 2 2 33 44?ax
11 2 2 3
3 4
4
?ax?x?x?x
?0
a
1
1
1
?x1 2 3 4
?0
1 a 1 1
数行列式
xA
xA
xA
?O,
? ?ax?x?x
即?1 2 3 4
. 由系
?(a?3)(a?1)3
?x?x
?
?1 2
?
?x?x
?
1 2
ax?x?0
3 4
x?ax?0
3 4
1 1 a 1
1 1 1 a
知, a??3且a?1时,方程组只有零解,这组向量线性无关；
在R4中，求向量?在基?,?
1 2
,?,?下的坐标.其中
3 4
解 设??x??x? ?x??x?
11 2 2 3 3 4 4
?1 2 1 0
?1 1 1 1
0? ?1 0 0 0
1???1?0?0
1?
?
?1?
0?
0?
?
由?? ? ? ?
1 2 3 4
????
?0 3
0 ?1
??初?等?行变?换??
0? ?0 0 1 0
11 01?001? ?? 0 ?1
1
1 0
1
?
0
0
1
? ?
得???
1
??.故向量?在基?,?
3 1 2
,?,?
3
下的坐标为(1,0,-1,0).
4
解 设??x??x? ?x??x?
11 2 2 3 3 4 4
? x?0x?x?x?2
? 1 2 3 4
?
则有?
?
x?x?x?0x?3
.1 2 3 4
.
x?x?0x?0x?4
1 2 3 4
??x?0x
?
1 2
0x
3
0x
4
??7
2?3?
2?
3?
?1
?0
4?
?7?
??初?等?行变?换??
0 0
1 0
0 1
0 0
0
0
0
1
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?
?21?
11?
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