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考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷13(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．

正确答案：涉及知识点：一元函数积分学

2．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’+(a)=＞

0，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)＜0．

正确答案：由题设f’+(a)=＞0可知，在(a，b)内至少存在一点x0．使f(x0)

＞0．在[a，x0]，[x0，b]上分别用拉格朗日中值定理可知：存在d∈(a，x0)，

c∈(x0，b)．使得于是由题设可知，f’(x)在[d，c]上连续，在(d，c)内可导．再

由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(d，c)(a，b)，使得=f”(ξ)＜0．

解析：由拉格朗日中值定理可知，要证f”(ξ)=＜0，只要证当d＜c时，有f’(c)

＜0，f’(d)＞0．只要证存在点x0∈(a，b)，有由题设可知，只要证f(x0)＞0．由

已知条件f’+(a)＞0可找到这样的点x0．知识模块：微积分

3．设且f(x)处处可导，求f[g(x)]的导数．

正确答案：若已求得g’(x)，则由复合函数求导法得故只需求g’(x)．当

x≠0时，当x=0时，按定义有因此，涉及知识点：一元函数微

分学

4．设平均收益函数和总成本函数分别为AR=a－bQ，C=Q3－

7Q2+100Q+50，其中常数a＞0，b＞0待定．已知当边际收益MR=67，且需

求价格弹性时总利润最大．求总利润最大时的产量，并确定a，b的值．

正确答案：总利润函数L(Q)=R－C=Q·AR－C=Q3+(7－b)Q2+(n－100)Q－

50，从而使总利润最大的产量Q及相应的a，b应满足L’(Q)=0，MR=67及即

解得a=111，Q=3或11，或2．由此得到两组可能的解：a=111，Q=3与a=111，

b=2，Q=11．把第一组数据中的a，b代入得总利润函数虽然L’(3)=0，L”(3)

＜0，即L(3)确实是L(x)的最大值，但L(3)＜0，不符合实际，故应舍去．把

第二组数据中的a，b代入得总利润函数L=Q3+5Q2+11Q一50，也有L’(11)=0，

L”(11)＜0，即是L(x)的最大值，故a=111，b=2是所求常数的值，使利润最大的

产量Q=11．

解析：平均收益函数AR=a－bQ其实就是价格P与销售量Q的关系式，由

此可得总收益函数R=Q·AR=aQ－bQ2，需求函数(它是P=a－bQ的反函数)

进而可得需求价格弹性知识模块：一元函数微分学

5．计算

正确答案：涉及知识点：微积分

6．在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以

2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L

／min的速度被输送到第二只桶内。再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的

速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．

正确答案：设在任意时刻t＞0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t)，

m2(t)，在时间[t，t+涉及知识点：微积分

7．设A=，若存在秩大于1的3阶矩阵B，使得BA=0，求An．

正确答案：由BA=0，有r(A)+r(B)≤3，又因r(B)＞1，故r(A)≤3一r(B)≤1．显

然r(A)≥1．所以r(A)=1．于是涉及知识点：线性代数

8．设函数问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可

去间断点?

正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续

9．设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，ATη=μη，其中λ，μ是实数，

且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量，证明：ξ，η正交．