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参考答案:
1. 【答案】D
【解析】
解:由图形知,该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成的简单组合体.
故选:D.
2. 【答案】B
【解析】
解:由斜二测画法规则知:三角形的直观图仍然是三角形,所以①正确;
根据平行性不变知,平行四边形的直观图还是平行四边形,所以②正确;
根据两轴的夹角为或知,菱形的直观图不再是菱形,所以③错误;
根据平行于轴的长度不变,平行于轴的长度减半知,正方形的直观图不再是正方形,所以④错误.
故选:B.
3. 【答案】D
【解析】
解:由于原几何图形的面积:直观图的面积
又正△的边长为2,
原图形的面积,
故选:D.
4. 【答案】D
【解析】
解:如图所示,该正多面体是由棱长为2的正方体
沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的,
该几何体的体积为:,
故选:D
5. 【答案】B
【解析】
解:由题意,,,,则,
球心到平面的距离为,正好是球心到的中点的距离,
所以球的半径是:,
球的体积是:,
故选:B
6. 【答案】A
【解析】
解:对于A,作出过的对角面,如图,
可得直线与这个对角面垂直,
根据线面垂直的性质,成立,故A正确;
对于B,作出过的等边三角形截面,如图,
将平移至内侧面,
可得与所成角等于,故B不成立;
对于C,D,将平移至经过点的侧棱处,
可得、所成角都是锐角,
故C和D均不成立.
故选:A
7. 【答案】A
【解析】
解:作的中点,作,,连接,,,
异面直线与所成角即和所成的角,
如图示:
,
显然,
在等边中,,
在等边中,
而,故是等边三角形,故,
在中,,,,
故,
由异面直线的夹角的范围是,
故和所成的角是的补角,
故和所成的角的余弦值是,
即异面直线与所成角的余弦值是,
故选:A
8. 【答案】D
【解析】
解:(1)对于A,D选项,取,分别为,的中点如图:
因为是正四面体,所以它的各个面是全等的等边三角形.
所以,所以,同理可证.故A错误;
又因为,,且,故平面,又平面,
所以平面平面.故D正确.
(2)对于选项,将看成正三棱锥的顶点,易知当在上移动时,的最小值为直线与平面所成的角,即(1)中的,显然为锐角,最大角为,故当在上移动时,不存在,使得.故B错误.
(3)对于C选项,将看成顶点,则由向底面作垂线,垂足为底面正三角形的中心,不落在上,又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直,故不存在,使得平面,故C错误.
故选:D
9. 【答案】C
【解析】
解:若,,则或,故错误;
若,,,,则,错误,只有在与相交的条件下,若,与可能平行,也可能相交;
若,,则或,又,则,故正确;
若,,,则,错误,与可能相交不垂直.
故选:C
10. 【答案】D
【解析】
解:取的中点,连接,由,所以;
过点作,交于点,则;如图所示:
由平面,平面,所以;
且,平面,平面,
所以平面;
又平面,
所以平面平面;
由,为的中点,且,所以;
又,所以,所以.
故选:D.
11. 【解答】(1)证明:如图示:
,
连接,在△中,,
即,故,故,
,又平面,平面,,
又,平面,而平面,
;
(2),异面直线与所成角的余弦值,
即和所成角的余弦值,
由,,,
故.
故异面直线与所成角的余弦值是.
12. 【解答】证明:(Ⅰ)连接交于,则为矩形的中心,
连接,,则,,
可得四边形为平行四边形,则,
平面,平面,
平面;
(Ⅱ)是直三棱柱,平面底面,
又,是的中点,,
而平面底面,平面,
平面,
由(Ⅰ)知,平面,
而平面,平面.
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