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关于柯西积分公式第1页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三一、柯西积分公式定理.(柯西积分公式)如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则第2页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三[证]DCKzz0R由于f(z)在z0连续,任给,存在,当|z-z0|时,|f(z)-f(z0)|.设以z0为中心,R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部,且R.第3页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三例1解第4页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三例题2解：第5页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三二、解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.第6页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.[证]设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即因此就是要证第7页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三按柯西积分公式有因此第8页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三现要证当Dz?0时I?0,而f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|?M.d为z0到C上各点的最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|d/2,因此L是C的长度这就证得了当Dz?0时,I?0.Dz0dC第9页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三这就证得了再利用同样的方法去求极限:依此类推,用数学归纳法可以证明:高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.第10页，讲稿共13页，2023年5月2日，星期三
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