第四章第七节解三角形中的数学建模问题（教参）-高考数学一轮复习优化指导高中总复习·第1轮（新高考版广东河北福建专用）.docx

第七节解三角形中的数学建模问题

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).

2．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).

3．方向角：相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

4．坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度).坡度又称为坡比．

解三角形应用题的4步骤

1．判断正误

(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(√)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)

(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.(×)

(4)方位角大小的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，方向角大小的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)

2．(必修5P7例4改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于(D)

A．10eq\r(3)nmileB．eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmileD．5eq\r(6)nmile

解析如图，在△ABC中，AB＝10，

∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，

∴由正弦定理可得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，

∴BC＝5eq\r(6)nmile.

3．(必修5P18T1改编)若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(B)

A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°

解析如图所示，∠ACB＝90°，

又AC＝BC，

∴∠CBA＝45°，

而β＝30°，

∴α＝90°－45°－30°＝15°，

∴点A在点B的北偏西15°.

4．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(D)

A．10kmB．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)kmD．10eq\r(7)km

解析如图所示，由余弦定理可得，

AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km).

5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝__eq\f(\r(3),2)a__．

解析由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a.

考查点1

测量距离问题(师生共研)

如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300eq\r(3)m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为__900__m.

解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.

又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.

又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.

在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900，故PQ＝900，

∴P，Q两点间的距离为900m．

[训练1]如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于__60__m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)

解析如图，过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，

则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝eq\f(46,sin67°).在△ABC中，根据正弦定理得BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)＝46