第四章第24讲正弦定理和余弦定理（教参）-状元桥高考数学一轮总复习（新高考版）.docx

第24讲正弦定理和余弦定理

考点要求

考向预测

1．借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．

2．掌握余弦定理、正弦定理.

考向预测：利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题是考查的热点．

学科素养：数学运算和逻辑推理.

1．正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R

a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C

变形

(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B_，

c＝2Rsin_C；

(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

(3)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，

asinC＝csinA

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

2．三角形中常用的面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC；

(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

(1)在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB?ab?sinAsinB?cosAcosB．

(2)三角形中的三角函数关系

①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；

③sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；④coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(A＋B,2).

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()

(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB．()

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()

(4)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形．()

(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√

2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()

A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)

C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)

答案C

解析在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋25－49,30)＝－eq\f(1,2)，由A∈(0，π)，得A＝eq\f(2π,3)，即∠BAC＝eq\f(2π,3).故选C项．

3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()

A．有一解 B．有两解

C．无解 D．有解但解的个数不确定

答案C

解析由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，所以sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq\r(3)＞1，所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C项．

4．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB＝eq\f(4,5)，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝____________.

解析依题意可得sinB＝eq\f(3,5)，又S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝42，则c＝14.

答案14

5．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则可判断这个三角形的形状为______________.

解析由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．

答案等腰三角形或直角三角形

考点一利用正弦、余弦定理解三角形…………师生共研型

【例1】(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cosC＝eq\f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则tanB＝()

A．eq\r(5) B．2eq\r(5)

C．4eq\r(5) D．8eq\r(5)

(2)(2021·广东七校联考)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝3asinB，且c＝2b，则eq\f(a,b)＝()

A．eq\f(3,2) B．eq\r(2)