第四章第20讲同角三角函数的基本关系与诱导公式（教参）-状元桥高考数学一轮总复习（新高考版）.docx

第20讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

考点要求

考向预测

1.理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.

2．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切)).

考向预测：同角三角函数基本关系式的应用和诱导公式的应用是考查的热点．

学科素养：数学运算.

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1.

(2)商数关系：tanx＝eq\f(sinx,cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

2．三角函数的诱导公式

组数

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sin_α

－sin_α

sin_α

cos_α

cos_α

余弦

cosα

－cos_α

cos_α

－cos_α

sin_α

－sin_α

正切

tanα

tan_α

－tan_α

－tan_α

(1)诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

(2)同角三角函数的基本关系式的几种变形

①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.

②sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

③sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)；

cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)对任意的角α，β都有sin2α＋cos2β＝1.()

(2)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()

(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()

(4)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosθ＝eq\f(1,3).()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

2．sin210°＝()

A．eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)

C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)

答案D

解析sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).故选D项．

3．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)≤α≤π，则tanα＝()

A．－2 B．2

C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)

答案D

解析因为cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).故选D项．

4．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝__________；

(2)tan330°＝__________.

解析(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).

(2)tan330°＝tan(360°－30°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).

答案(1)eq\f(\r(3),2)(2)－eq\f(\r(3),3)

5．已知tanα＝2，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值为____________.

解析eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.

答案3

考点一诱导公式的应用…………自主练透型

1．(多选)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是()

A．cos(A＋B