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泰勒公式及其应用

摘要：泰勒公式是数学分析中的重要知识,在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的.本文主要阐述了利用泰勒公式进行近似计算和误差分析、求极限、求函数在某点处的高阶导数、求定积分、求某些微分方程的解、巧解行列式、判断函数极值与拐点、判断级数与广义积分的敛散性、证明不等式、证明根的唯一性等方面的应用及技巧.

关键字：泰勒公式；应用；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值.

一.引言

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.本文主要探索的是泰勒公式的一些重要应用,并对不同的应用进行相应的分析,并且通过例题分析说明泰勒公式的应用及注意事项和应用技巧.

二.泰勒公式及其余项

1.泰勒公式的基本概述

若函数SKIPIF10在SKIPIF10处存在SKIPIF10阶导数,则对SKIPIF10,有

SKIPIF10,(1)

SKIPIF10,SKIPIF10,即SKIPIF10是比SKIPIF10的高阶无穷小.(1)式称为SKIPIF10在SKIPIF10处的泰勒展开式.

2.泰勒公式的重要形式

泰勒定理中给出的余项SKIPIF10称为佩亚诺余项.佩亚诺余项SKIPIF10只是给出来余项的定性描述,它不能估算余项SKIPIF10的数值,还需要进一步的进行定量描述.

（1）拉格朗日余项

若函数SKIPIF10在SKIPIF10内存在SKIPIF10阶的连续导数,则对SKIPIF10有

SKIPIF10,(2)

SKIPIF10称为拉格朗日余项,其中SKIPIF10在SKIPIF10与SKIPIF10之间,称(2)式为SKIPIF10在SKIPIF10的带拉格朗日余项的泰勒公式.

当SKIPIF10时,(2)式变成

SKIPIF10,

SKIPIF10,其中SKIPIF10在0与SKIPIF10之间,称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.

（2）柯西余项

若函数SKIPIF10在SKIPIF10内存在SKIPIF10阶的连续导数,则对SKIPIF10有

SKIPIF10,(3)

SKIPIF10,其中SKIPIF10在SKIPIF10与SKIPIF10之间,称(3)式为SKIPIF10在SKIPIF10