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参考答案:
1. 【答案】D
【解析】
解:,,,
由正弦定理得:,
,,
D有两解.
故选:D.
2. 【答案】C
【解析】
解:在中,①若,,,
由正弦定理可知,
,
所以,故错误;
②若三角形的三边的比是,
根据题意设三角形三边长为,,,最大角为,
由余弦定理得:,
则最大角为,故正确;
③若为锐角三角形,且三边长分别为2,3,,设所对角分别为,,,
则最大角为或所对的角,
,得,
,得.
则的取值范围是,故正确;
故选:C.
3. 【答案】B
【解析】
解:不妨设,根据条件可得,,
,,
,
,
米.
故选:B
4. 【答案】C
【解析】
解:在中,
由,得,
所以,
从而.
故选:C
5. 【答案】B
【解析】
解:在三角形中,设的平分线交于,
由角平分线的性质可知:,由此得.
设,在,中,,
由余弦定理得:,
即,故.
所以.
故选:B
6. 【答案】C
【解析】
解:因为,
所以可得,
因为,
所以,
因为,,
所以由正弦定理,可得,解得.
故选:C
7. 【答案】B
【解析】
做出图形,设三角形的边边的中点为,然后根据三角形重心、直角三角形的性质可用表示出的长度,结合余弦定理分别在,中表示出,的余弦值,它们的和为0,即可得到,,的关系式,结合,最后利用余弦定理求出,则问题可解.
解:在中,设边的中点为,因为为重心,且,
故,,在,中,,
所以:.
整理得:,结合得:.
所以,
所以.
故选:B
8. 【答案】D
【解析】
解:当与在的异侧时:连接交于,
,,
(到线段两端距离相等的点在垂直平分线上),
在直角中,,
,,
,
;
当与在的同侧时:连接并延长交于点
;
当与重合时,,与矛盾,舍去.
的长为或.
故选:D
9. 【答案】B
【解析】
解:由题意可知,,,,
由正弦定理可得,,
或,
若,则,此时,
若,则,此时,
故选:B
10. 【答案】
【解析】
解:由题意,设,可得,
因为,,,
所以在中,由余弦定理,可得:,整理可得,
解得,或,
若,则,则为锐角,与已知矛盾,
故,可得,,
因为在中,由余弦定理,可得,
所以在中,可得,
所以.
故答案为:.
11. 【答案】
【解析】
解:设该“圭田”的底边长为,
则由题意,利用余弦定理可得:,
解得,故该“圭田”的底边长为.
故答案为:.
12. 【答案】
【解析】
解:,,
,
.
,
,,当取得最大值1时,最小,且.
此时,由正弦定理可得,即,,
故答案为:.
13. 【答案】
【解析】
解:由及正弦定理,得,
,
由余弦定理得,,
,
.
由于,
,
,
,两边平方得,
当且仅当时取等号,即,
线段长度的最小值为.
故答案为:.
14. 【答案】(1).
(2)的面积.
【解析】
解:(1)因为,
由正弦定理得:,
因为,
所以,
又因为中,
故.
(2)由余弦定理得,,
因为,,
所以有,
解得,或(舍去),
所以的面积.
15. 【答案】(1)选①:.
选②:.
选③:;
(2)周长的取值范围为.
【解析】
解:(1)选①:,
由正弦定理得,即:,
因为,
,
因为,
.
选②:,
由正弦定理得,
因为,
,
因为,
所以,
因为,
.
选③:因为,
所以,即,
所以,
因为,
所以;
(2)由(1)可知:,
在中,由余弦定理得,即,
所以,
所以,当且仅当时等号成立,
所以,即周长的最大值为.
又因为,
所以周长的取值范围为.
16. 【答案】若选条件①:(Ⅰ).(Ⅱ),.
若选条件②:(Ⅰ).(Ⅱ),.
【解析】
解:若选条件①:,
(Ⅰ)由于,,
可得,
由正弦定理,可得,解得,
由余弦定理,可得,整理可得:,
解得,或,(舍去).
(Ⅱ)由正弦定理,可得,可得,
.
若选条件②:,
(Ⅰ)由于,,
由余弦定理,可得,整理可得:,
解得,或(舍去).
(Ⅱ)由于,
由正弦定理,可得,可得,
可得.
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