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2024年甘肃省陇南市第五中学高三数学第一学期期末考试试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直角坐标系中,双曲线()与抛物线相交于、两点,若△是等边三角形,则该双曲线的离心率()
A. B. C. D.
2.已知,函数,若函数恰有三个零点,则()
A. B.
C. D.
3.已知正项等比数列中,存在两项,使得,,则的最小值是()
A. B. C. D.
4.抛物线的准线与轴的交点为点,过点作直线与抛物线交于、两点,使得是的中点,则直线的斜率为()
A. B. C.1 D.
5.如图,正方体中,,,,分别为棱、、、的中点,则下列各直线中,不与平面平行的是()
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
6.已知集合,,则()
A. B.
C.或 D.
7.若集合,,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前n项和为,且,则()
A.4 B.8 C.16 D.2
9.对于任意,函数满足,且当时,函数.若,则大小关系是()
A. B. C. D.
10.如图示,三棱锥的底面是等腰直角三角形,,且,,则与面所成角的正弦值等于()
A. B. C. D.
11.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是()
A. B. C. D.
12.已知复数满足,则的最大值为()
A. B. C. D.6
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设数列的前n项和为,且,若,则______________.
14.将函数的图象向左平移个单位长度,得到一个偶函数图象,则________.
15.如图所示的流程图中,输出的值为______.
16.定义在上的奇函数满足,并且当时,则___
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.
18.(12分)已知数列是等差数列,前项和为,且,.
(1)求.
(2)设,求数列的前项和.
19.(12分)如图,在四棱锥中,底面为菱形,为正三角形,平面平面分别是的中点.
(1)证明:平面
(2)若,求二面角的余弦值.
20.(12分)已知a>0,证明:1.
21.(12分)已知函数.
(1)若是的极值点,求的极大值;
(2)求实数的范围,使得恒成立.
22.(10分)已知函数.
(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,若方程有两个不相等的实数根,求证:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据题干得到点A坐标为,代入抛物线得到坐标为,再将点代入双曲线得到离心率.
【详解】
因为三角形OAB是等边三角形,设直线OA为,设点A坐标为,代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为,代入双曲线得到
故答案为:D.
【点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,结合转化为的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).
2、C
【解析】
当时,最多一个零点;当时,,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画函数草图,根据草图可得.
【详解】
当时,,得;最多一个零点;
当时,,
,
当,即时,,在,上递增,最多一个零点.不合题意;
当,即时,令得,,函数递增,令得,,函数递减;函数最多有2个零点;
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点,在,上有2个零点,
如图:
且,
解得,,.
故选.
【点睛】
遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数,故按“一元化”想法,逐步分类讨论,这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
3、C
【解析】
由已知求出等比数列的公比,进而求出,尝试用基本不等式,但取不到等号,所以考虑直接取的值代入比较即可.
【详解】
,,或(舍).
,,.
当,时;
当,时;
当,时,,所以最小值为.
故选
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