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第三章章末复习课;一、空间向量的概念及运算
空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等.;例1(1)[多选题]下列命题中不正确的是()
A.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
B.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
C.零向量是没有方向的
D.有向线段就是向量,向量是有向线段;?;?;?;?;二、利用空间向量证明线、面的位置关系
用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结:
(1)线线平行:证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
(2)线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直.
(3)线面平行:用向量证明线面平行的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.
;(4)线面垂直:用向量证明线面垂直的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
(5)面面平行:①证明两个平面的法向量平行(即共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题.
(6)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.;?;?;?;?;?;?;?;?;?;?;?;?;?;?;例4长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点,P在线段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中点,求:
(1)M到直线PQ的距离;
(2)M到平面AB1P的距离.
?;?;?;跟踪训练4如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=3,BC=2,E是PB上一点,且BE=2EP,求点E到直线PD的距离.;?;五、利用空间向量解决探索性问题
(1)对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解或是否有规定范围内的解”等.
(2)对于位置探索型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数.;角度1与线??面位置关系有关的探索性问题
例5在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由.;?;?;?;?;(2)取AD的中点O,连接PO,CO,因为PA=PD,所以PO⊥AD.
因为PO?平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD.
因为CO?平面ABCD,所以PO⊥CO.
因为AC=CD,所以CO⊥AD.
如图,建立空间直角坐标系O-xyz,由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).;?;?;解析:(1)证明设A1C交AC1于点F,则F为A1C的中点,连接DF.因为D为BC的中点,所以在△A1BC中,A1B∥DF,而DF?平面AC1D,A1B?平面AC1D,所以A1B∥平面AC1D.;?;?;?;?;?;?
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