第四章第25讲解三角形应用举例（教参）-状元桥高考数学一轮总复习（新高考版）.docx

第25讲解三角形应用举例

考点要求

考向预测

能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.

考向预测：测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，可能是考查的热点．

学科素养：数学建模和数学运算.

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，如点B的方位角为α(如图②)．

3．方向角

相对于某一正方向的水平角(如图③)．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向．

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

4．坡角和坡度(比)

(1)坡角：坡面与水平面所成角的度数(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()

(3)方位角与方向角的实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()

答案(1)√(2)×(3)√

2．从Α处望B处的仰角为α，从B处望Α处的俯角为β，则α，β的关系为()

Α.αβ B．α＝β

C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°

答案B

解析由已知及仰角、俯角的概念画出草图，如图，则α＝β.故选B项．

3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为()

A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)m

C．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)m

答案A

解析由题意得∠CBA＝180°－∠ACB－∠CAB＝30°.由正弦定理得AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠CBA)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．故选A项．

4．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点间的距离为_______________________千米．

解析如图所示，由题意知∠C＝45°，

由正弦定理得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(2,sin45°)，

所以AC＝eq\f(2,\f(\r(2),2))×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6).

答案eq\r(6)

5．如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得点A的仰角分别为60°，30°，则点A离地面的高度AB＝____________.

解析由题意知∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，所以AD＝2CDcos30°＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a.

答案eq\f(\r(3),2)a

考点一正、余弦定理的实际应用…………多维探究型

角度一距离问题

【例1】(2021·湖北武汉调研)如图，一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A．6eq\r(2)海里 B．6eq\r(3)海里

C．8eq\r(2)海里 D．8eq\r(3)海里

答案A

解析过点C向正南方向作一条射线CD，如图所示．由题意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°，AB＝24×0.5＝12(海里)．在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，即eq\f(12,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(1,2))，所以BC＝6eq\r(2)海里．故选A项．

误区防范

求解距离问题应注意的点

(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一个确定的三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

角度二高度问题

【例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75