不等式的性质课件高一上学期数学北师大版必修第一册.pptx

1.3.1不等式的性质新授课

1.能用作差法判断实数（或代数式）的大小.2.掌握不等式的基本性质,会运用基本性质比较大小.

在生活中,存在着形形色色的数量关系,既有相等关系,又有不等关系.在数学中,用不等式表示不等关系.请思考:生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?将其转化为数学问题:b克糖水中含有a克糖(ba),若再加入m(m0)克糖,则糖水更甜了,为什么?分析:起初糖水浓度为,加入m克糖后的糖水浓度为,只要证即可,怎么证呢?

实数a、b大小比较的依据如果a-b是正数,那么ab如果a-b等于0,那么a=b如果a-b是负数,那么aba-b0?aba-b=0?a=ba-b0?ab知识点1：实数(代数式)的大小比较结论：确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a-b与0的大小关系.思考：比较两个实数的大小可以采取什么办法？

例1.试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.解：因为(x+1)(x+5)-(x+3)2=(x2+6x+5)-(x2+6x+9)=-40,所以(x+1)(x+5)(x+3)2.

方法归纳比较两个实数(或代数式)大小的步骤：作差对要比较大小的两个数(或式子)作差变形对差进行变形(因式分解、通分、配方等)判号结合变形的结果及题设条件判断差的符号定论根据符号判断大小

练一练1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.练一练解:(x-3)2-(x-2)(x-4)=x2-6x+9-x2+6x-8=1＞0所以(x-3)2＞(x-2)(x-4).

回顾：在初中的学习中，你还记得不等式有哪些基本性质吗？知识点2：不等式的基本性质性质1如果ab,bc,那么ac.性质2若ab,则a±cb±c.性质3若ab，c0，则acbc(或);若ab，c0，则acbc(或).

思考：根据前面比较实数大小的方法，你能证明上述不等式吗？分析要证ac,只需证a-c0.证明:因为ab,且bc,所以a-b0,b-c0,从而a-c=(a-b)+(b-c)0,即ac.性质1如果ab,bc,那么ac.（传递性）

分析要证a+cb+c,只需证(a+c)-(b+c)0.证明:因为ab,所以a-b0,所以(a+c)-(b+c)=a-b0,即a+cb+c.性质2如果ab,那么a+cb+c.(可加性)

分析(1)要证acbc,只需证ac-bc0.证明:(1)因为ab,所以a-b0.又因为c0,所以(a-b)c0,ac-bc0,即acbc.试用(1)的方法完成(2)的证明.(可乘性)性质3(1)如果ab,c0,那么acbc;(2)如果ab,c0,那么acbc.思考：由该性质可得acbc?ab吗？

?又ab,所以b-a0.?证明:又b0,m0,故

练一练?因此故又0ab,所以a-b0,证明：

证明:因为ab,所以a+cb+c.又因为cd,所以b+cb+d.由不等式的性质1,得a+cb+d.性质4如果ab,cd,那么a+cb+d.(同向可加性)性质拓展想一想：当c=d时，结合前面所学的性质，你发现了什么？实际上，性质2和性质4可以合并在一起表达为：如果ab,c≥d,那么a+cb+d.

证明(1)因为ab,c0,所以acbc.又因为cd,b0,所以bcbd.由不等式的性质1,得acbd.试用(1)的方法完成(2)的证明.性质5(1)如果ab0,cd0,那么acbd.(2)如果ab0,cd0,那么acbd.(同向可乘性)特殊地，当ab0时，anbn,其中n∈N+,n≥2.注意：该性质不能逆推,如acbd?ab,cd.

当时，可得，即ab与已知条件ab0矛盾.当时，可得，即a=b与已知条件ab0矛盾.所以不成立，即?以上不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.（反证法）证明:假设

③例3.给出下列结论：①若acbc，则ab；②若ab，则ac2bc2；③若0，则ab；④若ab，cd，则a－cb－d；⑤若ab，cd，则acbd.其中正确结论的序号是______.

判断不等式是否成立的方法:(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.(2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.归纳总结

练一练?B

?证明:(1)因为ab0