新教材高中数学第二章平面解析几何5椭圆及其方程2椭圆的几何性质第2课时椭圆几何性质的综合问题学案新人教B版选择性必修第一册.docx

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第2课时椭圆几何性质的综合问题

互动探究·关键能力

探究点一椭圆中的最值与范围问题

精讲精练

例（1）（2021山东聊城三中高二月考）若点O和点F分别为椭圆x24+y2

A.5B.6C.7D.8

（2）椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2

A.[12,34]

答案：（1）B（2）B

解析：（1）由椭圆方程得F(-1,0)，设P(x0,

∵P为椭圆x24+y23=1

∴OP

∵-2≤x0≤2，∴当x

（2）易知A1(-2,0),A2(2,0)

则x024+y02

故k

∵k

解题感悟

求解椭圆的最值问题的基本方法：

（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解.

（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用的方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等.

迁移应用

1.（2020山东潍坊高二期末）已知椭圆y2a2+x2=1(a＞1)的离心率e

A.32B.2C.5

答案：C

解析：由题意可得a2-1a

则椭圆的方程为y25+x2=1，设椭圆上点

故|PB|=(x+1

当x=14时，

2.（2020江苏南通高二月考）已知椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为F1,

A.(-45

C.(-35

答案：A

解析：易知F1(-5

由∠F1P

由点P在椭圆x29+y2

代入可得9(1-yP24)-5+

当yP=0时，

所以yP的取值范围是(-

探究点二椭圆上的点与直线的距离有关的问题

精讲精练

例已知椭圆x225+y29=1

答案：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交.设直线m平行于直线l且与椭圆相切，如图，则直线m的方程可以设成4x-5y+k=0(k≠40).

由方程组4x-5y+k=0,x225+y

由Δ=64k

解得k=25或k=-25.

由图可知，当k=25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近，

此时直线m的方程为4x-5y+25=0.

则直线m与直线l间的距离d=|40-25|42+(-5)

解题感悟

本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为平行线间的距离问题，即已知直线与和它平行且与椭圆相切的直线间的距离.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，利用直线与椭圆相切?Δ=0解决问题.

迁移应用

1.在椭圆x24+y27=1

答案：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=32x+m(m≠-8)

整理得4x2+3mx+

∴m2=16,∴m=±4，故两切线方程为y=32x+4和y=32x-4

即d为切点P到直线l的最短距离.

由x24+y27=1,y=3

探究点三椭圆的实际应用问题

精讲精练

例某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米.要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）.

（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少米？

（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？并求出最小土方量.（已知：椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的面积公式为S=πab

答案：（1）

建立平面直角坐标系，如图，则点P(11,4.5)，设椭圆方程为x2

将b=h=6米与点P的坐标代入椭圆方程，得a=

此时l=2a=88

（2）根据题意，将(11,4.5)代入椭圆方程可得112

因为112a2

所以ab≥99，

所以S=πab2≥99?π2

此时l=2a=222≈31.11米，

故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小.

最小土方量为992

解题感悟

本题考查椭圆的实际应用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题.

迁移应用

1.（2020福建厦门国祺中学高二月考）某海域有A,B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是近似椭圆的曲线C，曾有渔船在与A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A,B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图.

（1）求曲线C的标准方程；

（2）某日，研究人员在A,B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5:3，则能否确定P处的位置（即点P的坐标）？

答案：（1）由题意知曲线C是以A,B为焦点且长轴长为8的椭圆，设该椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c，

则2c=