新教材高中数学第二章平面解析几何2直线及其方程1直线的倾斜角与斜率第2课时直线的方向向量和法向量学案新人教B版选择性必修第一册.docx

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第2课时直线的方向向量和法向量

课标解读

课标要求

素养要求

1.理解直线的方向向量、法向量的概念.

2.会求直线的方向向量和法向量.

3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用.

直观想象——能利用直线的方向向量、法向量确定直线.

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一直线的方向向量

1.直线方向向量的定义

一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线I①平行或重合，则称向量α为直线l的一个方向向量，记作②a∥l.

2.直线方向向量的性质

（1）如果α为直线l的一个③方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定④共线.

（2）如果A(x1,y1),B(x2

3.直线的方向向量与倾斜角，斜率的关系

一般地，如果已知a=(u,v)为直线l

（1）当u=0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为⑥90?

（2）当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u，从而

要点二直线的法向量

1.直线法向量的定义

一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线⑧垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l

⒉直线法向量的性质

（1）一条直线的⑨方向向量与法向量互相垂直.

（2）当x0与y0不全为0时，因为向量(x0,

自主思考

1.若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量可以是(1,k)吗?

答案：提示可以.

2.直线AB的一个方向向量AB=(

答案：提示当x1≠x2，时，AB的纵坐标与横坐标的比y2

3.若α为直线l的一个法向量，则入a（λ≠0）也是直线l的一个法向量吗?

答案：提示是.

4.向量(x

答案：提示因为二者的数量积为(x0,

名师点睛

1.任何直线都有方向向量和法向量.倾斜角为90°的直线的斜率不存在，但其方向向量一定存在;倾斜角为0

2.如果直线l的倾斜角为θ，斜率为k，如图所示，那么直线l的一个方向向量为OP=(

互动探究·关键能力

探究点一直线的方向向量及应用

精讲精练

例（1）直线l过点P(1,-3)，Q(4,3-3)，求直线l的一个方向向量、斜率k和倾斜角

（2）已知平面内三点A(-1,-5)，B(2,1)，C(4,5)，证明：A,B,C三点共线．

答案：（1）解法一：由已知得PQ=(4,3-3)-(1,-3)=(3,3)为直线l

∴θ=

故该直线的一个方向向量为(3,3)，斜率为33

解法二：k=(

∴tan

直线l的一个方向向量为(1,k)=(1,3

故该直线的一个方向向量为(1,33)，斜率为3

（2）证明：AB=(2,1)-(-1,-5)=(3,6),

∴AB∥AC，又AB与AC有公共点A，∴A,B,C三点共线．

解题感悟

直线的方向向量的求法

（1）在直线上任找两点P,Q，则PQ(

（2）已知直线的斜率为k，则a=(1,k)为直线的一个方向向量．

（3）a=(t,0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a=(0,t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量.

迁移应用

1.经过A(0,2),B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k)，则k的值是()

A.1B.-1C.2D.-2

答案：D

解析：由已知得k=2-0

2.若直线l的一个方向向量是(-3

A.36B.-36C.

答案：D

解析：若直线l的一个方向向量是(-3,6)，则直线l的斜率为

探究点二直线的法向量及应用

精讲精练

例已知菱形ABCD中,点A(-1,-2),B(2,1),直线BC的一个方向向量为a=(3,6),直线BD的一个法向量为v=(-2,-3),求点C的坐标．

答案：设点C的坐标为(x0,

由题意得,BC∥a,则(x

又AC=(x0+1,y

∴AC为直线BD的一个法向量,∴AC

∴-2(y0

由①②解得x0=5y

变式在本例中,若直线AB的法向量的大小为18,求此法向量.

答案：因为A(-1,-2),B(2,1),所以直线AB的一个方向向量为AB=(3,3),所以该直线的法向量可设为u=λ(3,-3),由题意可得9λ2+9λ

解题感悟

直线的法向量的求法

若直线的方向向量为a=(x0,

迁移应用

1.已知直线的倾斜角为120°,它的一个法向量为v=(m,m+1),则m

A.1-3B.3+1

C.3+32D.-3+32

答案：D

解析：由题意得,k=tan

∴直线的一个方向向量为a=(1,-3)．

∴a⊥v,又v=(m,m+1),

∴m-3(m+1)=0解得

2.若直线l的一个法向量为v=(1,-1),则该直线的倾斜角为.

答案