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分数阶导数

1引言

df(x)d2f(x)

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或Df(x)或Df(x)

我们都熟悉的导数的定义。通常记作dxdx2这些都是很容

易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如D[f(x)f(y)]Df(x)Df(y)但是

d1/2f(x)

像这样的记号或者D1/2f(x)又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导

dx1/2

数的阶数是1/2的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz

已经开始探讨。在之后的岁月里，包括L’Hospital,Euler,Lagrange,Laplace,Riemann,

Fourier,Liouville等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在，关于“分数

微积分”的文献已经大量存在。近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文

Wheeler

献[9]和[11]。此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。在文献[15]已编制了

一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。

本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从

定义-引理-定理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉

naxnax

的n阶导数的例子开始，比如Deae。然后用其他数字取代自然数字n。这种方式，感

觉像是侦探一样，步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种

思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。（如果想快速浏览它的正式定义，

请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。）

随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文的最

后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧……

2指数函数的分数阶导数

我们将首先研究指数函数eax的导数。因为他们导数的形式，比较容易推广。我们熟悉eax的

1axax2ax2ax3ax3ax

Deae,Deae,Deae

导数的表达式。，在一般情况下，当n为整数时，

naxnax1/2ax1/2ax

Deae。那么我们能不能用1/2取代n，并记作Deae呢？我们何不尝试一下？

为什么不更进一步，让n是一个无理数或者复数比如1+i？

我们大胆地写作

axax

Deae，（1）

对任意一个，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。当是负整数时，考虑（1）

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