数学建模微分方程模型.ppt

关于数学建模微分方程模型第1页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程.分析对象特征的变化规律.预报对象特征的未来性态.研究控制对象特征的手段.根据函数及其变化率之间的关系确定函数.微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设.按照内在规律或用类比法建立微分方程.第2页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1目标跟踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？第3页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三由(1),(2)消去t,整理得模型:第4页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三解法二(数值解法)1．建立M文件eq1．mfunctiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2．取x0=0，xf=0．9999，建立主程序如下：x0=0，xf=0．9999[x,y]=ode15s(eq1,[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b．)holdony=0:0．01:2;plot(1,y,’b*)结论:导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰.令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组．第5页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三结果见图导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰，与前面的结论一致．返回结论：时刻t=0．21时，导弹在（1，0．21）处击中乙舰．第6页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三背景年份1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年份19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长2如何预报人口的增长做出较准确的预报建立人口数学模型第7页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三指数增长模型——马尔塞斯1798年提出常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长.与常用公式的一致?第8页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.可用于短期人口增长预测.不符合19世纪后多数地区人口增长规律.不能预测较长期的人口增长过程.19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第9页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三阻滞增长模型——Logistic模型人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数第10页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)指数增长模型Logistic模型的应用经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量).种群数量模型(鱼塘中的鱼群,森林中的树木).S形曲线第11页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm.模型的参数估计、检验和预报指数增长模型阻滞增长模型由统计数据用线性最小二乘法作参数估计例：美国人口数据(百万)t186018701880…196019701980