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几何体的外接球与内切球

1、 内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、 正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、 体税分割是求内切球半径的通用做法。

一、外接球

（一） 多面体几何性质法

1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16，则这个球的表面积是

A.16兀 B.20k C.24兀 D.32兀

小结本题是运用正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径这一性质来求解的

2、 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2,

3，则此球的表面积为。

（二） 补形法

1、 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是

2、 设P,A,B,C是球O面上的四点，且PA,PB,PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a,

则球心O到截面ABC的距离是 .

小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径

设其外接球的半径为R，则有2R=\；a2+b2+c2.

3、 三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=2OC=2a，则三棱锥

。-ABC外接球的表面积为（ ）

A.6兀a2 B.9兀a2 C.12兀a2 D.24兀a2

4、 三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中徵8。是正三角形 PA1平面

ABC,PA=2AB=6则该球的体积为（ ）

A.16目兀 B.32*3兀 C.48兀 D.6\.3k

答案及解析：

10.B

点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.

5、如图的几何体是长方体ABCD-^BCD^的一部分，其中

AB=AD=3DDD=BB=2cm则该几何体的外接球的表面积为

11、22

(A11兀cm2(B)22兀cm2(C) 3—cm2 (D)11、；

(A11兀cm2

答案及解析:

12.【知识点】几何体的结构.G1

B解析：该几何体的外接球即长方体ABCD-ABCD的外接球，而若长方体1111

ABCD-ABCD^的外接球半径为R，则长方体ABCD-ABCD^的体对角线为2R，所以(2R)2=32+32+22=22nR2=11，所以该几何体的外接球的表面积22兀cm2，

古攵选B.

【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体ABCD-ABCD^的外接球的关系，进而得结论.

6、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直

角三角形，则该几何体的外接球的表面积是( )

12..加

答案及解析:

14.

考点：由三视图求面积、体积.

分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积.

解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S-ABCD,

其中SA上面ABCD.面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=..；5.

???S球=4nr2=4n^=3n.

答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题.

CA图3（三）寻求轴截面圆半径法

C

A图3

1、正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为声，

S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 .

小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

2、求棱长为a的正四面体P-ABC的外接球的表面积

3、三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2且AA『平面ABC^ABC是边长为?..云的正三角形，

该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）

A.8n B.％ C.$J；兀 D.8旬

答案及解析：

考点：球的体积和表面积.

专题：计算题；空间位置关系与距离.

分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积.

解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，

因为^ABC是边长为3的正三角形，所以底