新教材高中数学第二章平面解析几何7抛物线及其方程2抛物线的几何性质学案新人教B版选择性必修第一册.docx

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抛物线的几何性质

课标解读

课标要求

素养要求

了解抛物线的几何图形以及简单几何性质.

2.通过对抛物线的学习,进一步体会数形结合的思想.

1.直观想象——能依据抛物线的方程和图形研究其几何性质.

2.数学运算——能利用抛物线的简单几何性质求抛物线的方程,或根据抛物线的方程求其简单几何性质.

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一抛物线y2=2px（p0）的几何性质

（1）范围

x≥①0.除顶点外,抛物线上的其余点都在y轴的右侧.

（2）对称性

抛物线C关于②x轴对称,称x轴是抛物线的对称轴（简称为轴）.

（3）顶点称③原点是抛物线的顶点.

（4）离心率抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率,用e表示.根据抛物线的定义可知,抛物线的离心率e=④1

要点二抛物线y2=-2px（p0）,x2=-2py（p0）,x2=2py（p0）的几何性质

（1）抛物线y2=-2px(p0)中，x≤0\text,除顶点外,抛物线上的其余点都在y轴的⑤

（2）抛物线x2=2py(p0)中,y≥0,除顶点外,抛物线上的其余点都在x轴的⑥上方,抛物线的开口向上（或朝上）,抛物线关于

（3）抛物线x2=-2py(p0)中,y≤0,除顶点外,抛物线上的其余点都在x轴的⑦下方,抛物线的开口向下（或朝下）,抛物线关于

自主思考

1抛物线的范围是x∈R

答案：提示抛物线的方程不同,其范围就不同,如y2=2px(p0)的范围是

2.抛物线y2

答案：提示抛物线y2

3.影响抛物线开口大小的量是什么,是如何影响的?

答案：提示参数p影响抛物线的开口大小,p值越大,抛物线的开口越大;p值越小,开口越小

名师点睛

抛物线的特征

（1）抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;

（2）抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;

（4）抛物线的离心率是确定的,为1.

互动探究·关键能力

探究点一由抛物线的性质求抛物线的方程

精讲精练

例（1）已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点（-5,m）到焦点的距离是6,则抛物线的方程是()

A.y2=-2x

C.y2=2x

（2）已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4

答案：（1）B

解析：（1）由题意可设抛物线的方程为y2=-2px(p＞0),其焦点为(-p

由抛物线的定义知,（-5,m）到焦点的距离是6,即(-5,m)到准线的距离是6,

∴p2+5=6,∴p=2,∴

答案：（2）由已知得,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上．

故可设抛物线的方程为y2

∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2

∴点A与B关于x轴对称,故设A(x,

∴|y1|=|

∴|y1|=|y

∴A(±1,3)或A(±1,-3),将其代入抛物线方程,得3=±a,∴a=±3.

∴所求抛物线的方程是y2=3x或

解题感悟

用待定系数法求抛物线方程的步骤：

迁移应用

1.已知边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,则以O为顶点且过A、B两点的抛物线的方程是()

A.y

B.y

C.y

D.y

答案：B

解析：不妨设点A在x轴的上方,当抛物线开口向右时,可设抛物线的方程为y2

易知A(32,12

同理,当抛物线开口向左时,抛物线的标准方程为y2=-3

探究点二由抛物线的方程求其几何性质

精讲精练

例已知抛物线y

（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;

（2）P是抛物线上一点,点Q(4,0),求|PQ|的取值范围.

答案：（1）抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,

（2）设P(x0

∴|PQ|=(

当且仅当x0=0时,|PQ

变式本例的抛物线方程不变,以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长．

答案：如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M,

由焦点F是△OAB的重心可得|OF|=23|OM|.

因为F(2,0),所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0)．

故设A(3,m),代入y2=8x得

所以m=26,所以A(3,26),则B(3,-26),

所以|OA|=|OB|=33,所以△OAB的周长为233

解题感悟

把握三个要点确定抛物线的几何性质：

（1）开口：由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负．

（2）关系：顶点位于焦点与准线中间,准线垂直