新教材高中数学第二章平面解析几何5椭圆及其方程2椭圆的几何性质第1课时椭圆的几何性质学案新人教B版选择性必修第一册.docx

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椭圆的几何性质

课标解读

课标要求

素养要求

1.掌握椭圆的简单几何性质.

2.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.

3.了解椭圆的简单应用.

1.直观想象——能依据椭圆的方程和图形研究其几何性质.

2.数学运算——能利用椭圆的简单几何性质求椭圆的方程，或根据椭圆的方程求其简单几何性质.

第1课时椭圆的几何性质

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

x

y

图形

焦点

F

F

焦距

|

范围

①-a≤x≤a且-b≤y≤b

②-b≤x≤b且-a≤y≤a

对称性

对称轴：③x轴和y轴，对称中心：(0,0)

顶点

A

A

轴长

长轴长|A1A2|=④

离心率

e=ca

当e越趋近于1时，椭圆越扁，

当e越趋近于0时，椭圆越接近于圆

自主思考

1.椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？

答案：提示椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c，最小值为a-c.

2.若椭圆的长轴长和短轴长已经确定，则椭圆的标准方程是否能够确定？

答案：提示不确定，因为椭圆的焦点位置不确定.

3.在a不变的情况下，随c的变化，椭圆的形状如何变化？若c不变，随a的变化，椭圆的形状又如何变化呢？

答案：提示a不变，c越小，椭圆越圆；c越大，椭圆越扁.

c不变，a越大，椭圆越圆；a越小，椭圆越扁.

名师点睛

椭圆几何性质的应用

（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点.

（2）明确a,b的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，不要与长轴长、短轴长混淆.

（3）椭圆的范围决定了椭圆的大小，它位于四条直线x=±a，y=±b围成的矩形内，即-a≤x≤a，-b≤y≤b.椭圆的范围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时，常常涉及.

（4）如图，若椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)

（5）如图所示的椭圆中，a=|F2B2|，b=|O

互动探究·关键能力

探究点一椭圆的几何性质

自测自评

1.（2021山东济南高二月考）若点A(1,m)在椭圆C：x24+

A.(-6,

C.(-∞,-62

答案：B

解析：由题意得124+

所以m的取值范围是(-6

2.（多选）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面的距离为100千米，远月点与月球表面的距离为400千米，已知月球的直径约为3476千米，对于该椭圆，下述四个结论正确的是()

A.焦距约为300千米B.长轴长约为3976千米

C.两焦点坐标约为(±150,0)D.离心率约为75

答案：A;B;D

解析：设该椭圆的半长轴长为a千米，半焦距为c千米.依题意可得月球半径约为12×3476=1738（千米），易知a-c=100+1738=1838，a+c=400+1738=2138，2a=1838+2138=3976，∴a=1988，c=2138-1988=150，∴椭圆的焦距约为150×2=300（千米），长轴长约为3976千米，离心率约为1501988=75

3.求椭圆m2

答案：由已知得x2

∵0＜m

∴椭圆的焦点在x轴上，半长轴长a=1m，半短轴长b=1

∴椭圆的长轴长2a=2m，短轴长

焦点坐标为(-3

顶点坐标为(1

离心率e=

解题感悟

若所给的椭圆方程不是标准方程，则先把其化为标准方程，然后分清焦点的位置，求出a,b,c，再求相应的性质.

探究点二根据椭圆的几何性质求椭圆的方程

精讲精练

例（1）已知椭圆x2a2+y

A.x25

C.x216

（2）（2020山东淄博高二期中）阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的面积为8?π，直线

A.x216

C.x264

答案：（1）D（2）D

解析：（1）易知直线2x+y+10=0与x轴的交点为(-5,0)，

由题意得椭圆的左顶点为(-5,0).

所以椭圆的半长轴长a=5，由椭圆的离心率为35，知c=3.则b=4

所以椭圆的方程为x2

（2）依题意，8?π=ab?π

不妨设直线l：xa+y

则椭圆的中心到直线l的距离为aba2+

联立①②，解得a=42，b=

故椭圆C的方程为x2

变式把本例（1）的条件改为“椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3”，求椭圆