新教材高中数学第二章平面解析几何4曲线与方程学案新人教B版选择性必修第一册.docx

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曲线与方程

课标解读

课标要求

素养要求

1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.

2.初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.

3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.

1.数学抽象——能通过具体的实例理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.

2.数学运算——能掌握求动点的轨迹方程的常见方法.

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一曲线的方程与方程的曲线

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:

(1)曲线C上的①点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;

(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.

要点二动点的轨迹方程

1.轨迹方程

就像直线可以看成动点做②直线运动的轨迹,圆可以看成动点做③圆周运动的轨迹一样,曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.

2.求动点M轨迹方程的一般步骤

(1)设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需建立);

(2)写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用④M的坐标表示出来;

(3)化简并检验所得方程是不是M的轨迹方程.

自主思考

1.如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”会出现什么情况?你能举例说明吗?

答案:提示有可能曲线上的点的坐标不一定满足方程y=1-x2,此时方程y=

2.求动点的轨迹方程与求其轨迹有何区别?

答案:提示求动点的轨迹方程得出方程即可,而求动点的轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.

3.求轨迹方程时,根据一个已知的平面图形建立的坐标系是唯一的吗?

答案:提示不是唯一的,一般以得到的曲线方程最简单为标准.

名师点睛

对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明:

①定义中的条件(1)说明曲线上没有点的坐标不是方程的解,即曲线上每个点的坐标都符合这个条件.

②定义中的条件(2)说明符合条件的所有解构成的点都应在曲线上.

③定义的实质是平面曲线上的点集{M|p(M)}和方程F(x,y)=0的解集{(x,y)|F(x,y)=0}之间是一一对应的关系,因此平面曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合.

④从集合角度看,若设曲线C上的点的坐标组成集合A,以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成集合B,则A?B且B?A,所以A=B.

互动探究·关键能力

探究点一曲线的方程与方程的曲线的概念的理解及应用

精讲精练

例(1)方程x-1?

A.B.C.D.

(2)“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案:(1)D(2)B

解析:(1)因为方程x-1?ln(x2+y2-1)=0,所以可得x-1=0或ln(x2+y

(2)∵y2=4x,∴=2x或y=-2x,故点M在曲线y2=4x上,但不一定在曲线y=-2x上,∴点M的坐标不一定满足方程y=-2x;反过来,点M的坐标满足方程y=-2x,则点M一定在曲线y=-2x上,故也一定在曲线y2=4x

解题感悟

曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”,称为纯粹性;以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.

迁移应用

1.(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”是真命题,则下列命题中不正确的是()

A.方程F(x,y)=0的曲线是C

B.方程F(x,y)=0的曲线不一定是曲线C

C.F(x,y)=0是曲线C的方程

D.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上

答案:A;C;D

解析:曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,但以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上,故A,C,D都不正确,B正确.

2.若曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a)(a∈R

答案:∵曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a),

∴k=-2a2-2a=-2(a+12)2

探究点二曲线的交点

精讲精练

例已知曲线C1:2x-5y+5=0,

答案:建立方程组{2x-5y+5=0,①y=-10x,②

△=25-4×2×50<0,因此方程③无实数解,从而方程组无实数解,因此曲线C1:2x-5y+5=0与曲线

解题感悟

结合曲线方程的定义,两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解,所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题,把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的一部分,那么常用到数形结合

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