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曲线与方程
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
1.数学抽象——能通过具体的实例理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
2.数学运算——能掌握求动点的轨迹方程的常见方法.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一曲线的方程与方程的曲线
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:
(1)曲线C上的①点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;
(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.
要点二动点的轨迹方程
1.轨迹方程
就像直线可以看成动点做②直线运动的轨迹,圆可以看成动点做③圆周运动的轨迹一样,曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
2.求动点M轨迹方程的一般步骤
(1)设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需建立);
(2)写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用④M的坐标表示出来;
(3)化简并检验所得方程是不是M的轨迹方程.
自主思考
1.如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”会出现什么情况?你能举例说明吗?
答案:提示有可能曲线上的点的坐标不一定满足方程y=1-x2,此时方程y=
2.求动点的轨迹方程与求其轨迹有何区别?
答案:提示求动点的轨迹方程得出方程即可,而求动点的轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.
3.求轨迹方程时,根据一个已知的平面图形建立的坐标系是唯一的吗?
答案:提示不是唯一的,一般以得到的曲线方程最简单为标准.
名师点睛
对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明:
①定义中的条件(1)说明曲线上没有点的坐标不是方程的解,即曲线上每个点的坐标都符合这个条件.
②定义中的条件(2)说明符合条件的所有解构成的点都应在曲线上.
③定义的实质是平面曲线上的点集{M|p(M)}和方程F(x,y)=0的解集{(x,y)|F(x,y)=0}之间是一一对应的关系,因此平面曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合.
④从集合角度看,若设曲线C上的点的坐标组成集合A,以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成集合B,则A?B且B?A,所以A=B.
互动探究·关键能力
探究点一曲线的方程与方程的曲线的概念的理解及应用
精讲精练
例(1)方程x-1?
A.B.C.D.
(2)“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:(1)D(2)B
解析:(1)因为方程x-1?ln(x2+y2-1)=0,所以可得x-1=0或ln(x2+y
(2)∵y2=4x,∴=2x或y=-2x,故点M在曲线y2=4x上,但不一定在曲线y=-2x上,∴点M的坐标不一定满足方程y=-2x;反过来,点M的坐标满足方程y=-2x,则点M一定在曲线y=-2x上,故也一定在曲线y2=4x
解题感悟
曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”,称为纯粹性;以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.
迁移应用
1.(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”是真命题,则下列命题中不正确的是()
A.方程F(x,y)=0的曲线是C
B.方程F(x,y)=0的曲线不一定是曲线C
C.F(x,y)=0是曲线C的方程
D.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
答案:A;C;D
解析:曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,但以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上,故A,C,D都不正确,B正确.
2.若曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a)(a∈R
答案:∵曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a),
∴k=-2a2-2a=-2(a+12)2
探究点二曲线的交点
精讲精练
例已知曲线C1:2x-5y+5=0,
答案:建立方程组{2x-5y+5=0,①y=-10x,②
△=25-4×2×50<0,因此方程③无实数解,从而方程组无实数解,因此曲线C1:2x-5y+5=0与曲线
解题感悟
结合曲线方程的定义,两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解,所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题,把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的一部分,那么常用到数形结合
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