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几个常见分数阶微积分定义的比较

吕鑫;刘官厅【摘要】从初等函数eax和xp的整数阶微积分入手，探索函数的分数阶微积分形式，并给出其级数形式.通过与经典分数阶微积分的定义比较，给出了不同定义下简单函数f(t)=t的1/2阶微积分.结果表明，同一函数在不同定义形式下的分数阶微积分相差一个上限为分数的级数.％Startingfromtheintegralcalculusoffunctionseaxandxp,westudytheformofthefractionalcalculusofelementaryfunctions,andsomeseriesformsofthefractionalcalculusofthefunctionsaregiven.Comparingwiththedefinitionofclassicalfractionalcalculus,wecalculatethe1/2ordercalculusofthesimplefunctionsf(t)=tinthedifferentdefinitions.Theresultsshowthatthefractionalcalculusofthesamefunctionindifferentdefinitionsaredifferentintheserieswhichupperlimitisafraction.

【期刊名称】《内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)》【年(卷)，期】2017(046)004【总页数】4页(P479-482)【关键词】分数阶微积分;GrUnwald-Letnikov分数阶微积分;Caputo分数阶微积

分;Riemann-Liouville分数阶微积分【作者】吕鑫;刘官厅【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010022;内蒙古师范

大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010022

【正文语种】中文

【中图分类】O172

分数阶微积分研究的是任意阶(分数阶、无理数阶，甚至是复数阶)微分和积分的性质及其应用.在一段时间内，由于缺乏直观的物理意义，分数阶微积分的发展极为缓慢1965年美国耶鲁大学Mandelbrot教授提出了分形的概念，同时分数阶Brown运动与Riemann-Liouville提出的分数阶微积分的定义有紧密联系从此分数阶微积分的研究才得到迅速发展.20世纪90年代以来，分数阶微积分理论与方法在反常扩散、黏弹性、生物医学等领域得到广泛应用.本文从简单函数入手，探索了其分数阶微积分的形式.

首先考虑指数函数eax的分数阶导数，因为它的导数的形式容易推广.早在1832年数学家Liouville就得到重要结论,Dneax=aneax,这里D=d/dx,nuN,并且首次拓展到特殊情况.取n=1/2,a=2,然后将n推广到一切正实数，得Daeax=aaeax.

以xp为例，对于整数阶导数来说,D1xp=pxp-1,D2xp=p(p-1)xp-2.利用数学归纳法可得

利用上述计算公式来看eax的分数阶微积分，则有

比较(3)式和(4)式，发现它们的形式并不相同.当a是整数时，两者结果是相同的，只是采用了不同的表达形式,但是当a不是整数时，两者并不等价.

若函数在区间［a,t］存在m+1阶连续导数，当a0时m至少取到［a］,则次数为a(mam+1)的分数阶导数定义为

T.

T.

T.

T.

积分形式为

=(t-T)-3/2f(T)dT=+dT,

T.

我们知道(t)只有在函数彬)具有m+1阶连续的导数时才有意义，在此条件下，同时

m至少取到M=n-1时,R-L与G-L定义是一致的，与上面的计算结果也是吻合的.

当积分下限a=0,f(t)=t的G-L意义下的1/2阶导数与积分.

云1-1(1-1/2-1dE==.

当积分下限a=0,f(t)=t的Caputo意义下的1/2阶导数与积分.

⑶当积分下限a=0,f(t)=t的R-L意义下的1/2阶导数与积分.

从上述运算结果来看，当函数相同，积分下限相同时，

t.

【相关文献】

马芳芳，靳丹丹，么焕民.Grunwald-Letnikov分数阶导数的理论分析[J].哈尔滨师范大学学报,2011,27(3):32-34.

张慧琛.分数阶微积分的一些性质及证明[J].沂州师范学院学报,2010,26(2):20.

王小东.Riemann-Liouville分数阶微积分及其性质证明[D].太原:太原理工大学数学学院,2008.

徐明瑜，谭文长.中间过程、临界