新教材高中数学第一章空间向量与立体几何加练课2空间角的计算学案新人教B版选择性必修第一册.docx

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加练课2空间角的计算

学习目标

1.理解利用空间向量求空间角的方法与步骤.

2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题.

自主检测·必备知识

一、概念辨析，判断正误

1.两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(×)

2.直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(×)

3.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(×)

4.两异面直线夹角的范围是(0,π2]，直线与平面所成角的范围是[0,

二、夯实基础，自我检测

5.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()

A.45°B.

C.45°或135°

答案：C

解析：cos?m,

∴两平面所成的二面角为45°或180

6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°,M,N

A.110B.25C.30

答案：C

解析：以点C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设直三棱柱的棱长为2，则

∴BM

∴cos

7.已知空间四个点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角的大小为.

答案：30

解析：∵A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4)，

∴AD

设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)

则n?AB→=-5x-y+z=0,n

设直线AD与平面ABC所成的角为θ，则sinθ=

又0°≤θ≤90°,∴θ=30°，∴

互动探究·关键能力

探究点一求异面直线所成的角

精讲精练

例三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，

A.33B.66C.3

答案：B

解析：设棱长为1，AA

由题意得a?

∵A

∴A

又|A

|

=b

∴cos

即异面直线AB1与BC

解题感悟

（1）求两异面直线所成的角有两种方法：基向量法和坐标法；

（2）两异面直线所成角的范围是θ∈(0,π2]，两向量的夹角α

迁移应用

1.（2020山西晋城高二期中）底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为1，侧棱长为2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的余弦值为()

A.33B.63C.2

答案：B

解析：如图所示，以正方形ABCD的中心O为坐标原点，DA方向为x轴正方向，AB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则A(12,-

则PO=P

∴P(0,0,142)，∵E

∴E(-1

AP=(-

BE=(-

∴cos

即异面直线PA与BE所成角的余弦值为63

探究点二求直线与平面所成的角

精讲精练

例（2021天津耀华中学期中）如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP=120

（1）若F为BP的中点，证明：EF∥平面PDC；

（2）若BF=13BP，求直线

答案：（1）证明：取PC的中点为O，连接FO,DO，

因为F,O分别为BP,PC的中点，所以FO∥BC，且FO=1

又四边形ABCD为平行四边形，所以ED∥BC，且ED=1

所以ED∥FO，且FO=ED，即四边形EFOD是平行四边形，

即EF∥OD，又EF?平面PDC，OD?平面PDC，所以EF∥平面PDC.

（2）以D为原点，DC所在直线为x轴，在平面PDC中过D作CD的垂线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P(-2,23

∴CB

设点F(a,b,c)，∵BF

∴(a-2,b,c-3)=1

解得a=2

∴F(2

设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)

则n

取x=1，得n=(1,

设直线AF与平面PBC所成的角为θ，则直线AF与平面PBC所成角的正弦值sinθ=

解题感悟

利用向量求线面角的方法：

（1）通过平面的法向量来求解，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角；

（2）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.

迁移应用

1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=CD=CB=2,∠ABC=60°，矩形ACFE中，

（1）求证：BC⊥平面ACFE；

（2）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值.

答案：（1）证明：由题意可知四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC=120

∴∠DCA=∠DAC=30

∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90

∵矩形ACFE中，CF