新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1空间向量及其运算1空间向量及其运算第2课时空间向量的数量积课件新人教B版选择性必修第一册.pptx

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算第2课时空间向量的数量积课标解读课标要求素养要求1.掌握空间向量的夹角的概念及表示方法.2.理解两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量的夹角和判断向量垂直.1.数学抽象——能理解两个向量的数量积的定义及运算规律.2.直观想象——能根据图形与数量积的定义计算两个向量的数量积.3.数学运算——能根据向量的数量积判定两个向量垂直.要点一空间向量的夹角与垂直?1.向量的夹角平面内，给定两个非零向量，①_______在平面内选定一点，作，，则大小在内的称为与的夹角，记作②______.任意??2.向量的垂直如果，则称向量与垂直，记作；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都③_______.垂直1.若两个向量的夹角为0或，则这两个向量分别是什么关系？??提示若两个向量的夹角为0，则这两个向量方向相同；若两个向量的夹角为，则这两个向量的方向相反.?2.若，为非零向量，且，则向量与的夹角的大小是什么？提示.?要点二空间向量的数量积?1.数量积的定义平面内，两个非零向量与的数量积（也称为内积）定义为?2.数量积的几何意义两个向量数量积的几何意义与④_______有关，如图所示，过的始点和终点分别向所在的直线作⑤_______，即可得到向量在向量.上的投影，与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的⑥_______.特别地，与单位向量的数量积等于在上的投影的数量.规定零向量与任意向量的数量积为⑦____.投影垂线乘积0?3.向量在直线（或平面）上的投影一般地，给定空间向量和空间中的直线（或平面），过的始点和终点分别作直线（或平面）的垂线，假设垂足为，则向量称为在直线（或平面）上的投影.4.数量积的性质空间向量的数量积具有以下性质：?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（交换律）；（6）（分配律）.3.两个向量的数量积是一个实数还是一个向量？若是一个实数，其符号是由什么确定的？?提示两个向量的数量积是-一个实数，其符号由决定，即当是锐角时，；当是钝角时，；当是直角时，.4.已知，则向量在向量方向上的投影的数量是多少？?提示向量在向量方向上的投影的数量为.?5.若在上的投影的数量为1，且，则与的夹角是多少？??提示.数量积运算的关注点?（1）数量积运算不满足消去律.若为实数，则；但对于向量不正确，即.由下图可以看出.?（2）数量积运算不满足结合律.数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即不一定等于.这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线.（3）空间向量没有除法运算.对于三个不为零的实数，若，则或；但对于向量、，若，却没有或.探究点一空间向量的夹角?1.如图所示，已知四面体的每条棱长都等于，点分别是棱、、的中点，求下列向量夹角的大小.?（1）；?[答案].?（2）；[答案]因为且方向相同，所以.??（3）；?[答案]因为且方向相反，所以.?（4）；?[答案]因为是等边三角形，所以.（5）；??[答案]因为与首尾相接，所以.（6）.??[答案]因为，所以.?2.如图，在正方体中，分别求向量与向量、、、、的夹角.[答案]连接，如图，?则在正方体中，，，，??所以；；；；.?解题感悟找向量的夹角的关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角的大小，注意向量的夹角的范围是.探究点二数量积的计算?例（1）已知向量是两两垂直的单位向量，且，，则()A.15 B.3 C.-3 D.5B?[解析]由题意可知.（2）已知棱长为的正方体中，为上底面的中心，求与的值.?[答案]如图所示，连接交于点，连接，在上的投影为，，，.取的中点，连接，??易知，在上的投影为，又，，.变式若本例（2）的条件不变，求的值.?[答案]因为，，所以.??解题感悟求数量积的两种情况及方法（1）已知向量的模和夹角：利用并结合运算律进行计算.（2）在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的数量积运算律展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.?1.（多选）设为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的是()A. B.C. D.AD?[解析]由数量积的性质和运算律可知A、D正确；因为运算后是实数，没有这种运算，所以B不正确；所以C不正确.?2.三棱锥中，，，，则等于()AA.0 B.2 C. D.??[解析]因为，，所以，.探究点三数量积性质的应用类型1求向量的模例1如图，把边长为1的正方形沿对角线折成直二面