新教材高中数学第二章平面解析几何8直线与圆锥曲线的位置关系第3课时定点定值与存在性问题学案新人教B版选择性必修第一册.docx

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第3课时定点、定值与存在性问题

互动探究·关键能力

探究点一定点问题

精讲精练

例（2021山师大附中高二期中）已知椭圆E：x2a2+y

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）若不过点A(0,1)的动直线l与椭圆E交于P,Q两点,且AP?AQ=0

答案：（1）由题意得e=ca=63，9

（2）由AP?AQ=0,可知AP⊥AQ,从而直线l

故可设直线l的方程为y=kx+t(t≠1),

联立得y=kx+t,x23

设P(x

则x

由Δ=(6kt)2

由AP?AQ

将(*)代入,得2t2-t-1=0,解得t=1（舍去）或t=-12,所以直线l的方程为y=kx-

解题感悟

圆锥曲线中定点问题的两种解法

（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示的变量,再研究变量与参数何时没有关系,找到定点．

（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关

迁移应用

1.（2021山东济南高二期末）已知椭圆M:x2a2+

（1）求椭圆M的方程;

（2）设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点C（A,B均不与点C重合）,证明:直线l过定点.

答案：（1）由题意,点P1(-3,1

根据椭圆的对称性和题意可知,点P1(-3

因为点P3(3

所以椭圆过点P1(-

且0

解得a2=4,b2=1,

（2）证明：由题意,可设直线l的方程为x=ky+m(m≠2),

联立x24+y2

设A(x1

因为以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,所以CA?

又CA=(x

将x1

(k

将①代入上式,得m=65或m=2（舍去）,所以直线l的方程为x=ky+65,则直线l恒过点

探究点二定值问题

精讲精练

例已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为(0,2),且过点P(1,2).

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB,分别交椭圆C于另外两点A,B,求证：直线AB的斜率是定值.

答案：（1）设椭圆方程为y2a2+x

∴2b

∴椭圆C的方程为y2

（2）证明：依题意,直线PA,PB都不垂直于x轴,

设直线PA的方程为y-2=k(x-1),则直线PB的方程为

由y-2=k(x-1)，

∵1?

同理可得x

∴

=

=

故直线AB的斜率是定值.

解题感悟

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

（1）代数式为定值问题：依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值．

（2）点到直线的距离为定值问题：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得．

（3）某线段长度为定值问题：利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

迁移应用

1.（2020江西吉安高二期末）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p＞0)上一点M(n,7)(n＞3)到其焦点F的距离为4.过点N(3,0)

（1）求抛物线的方程与准线方程;

（2）求证：OA?

答案：（1）∵M(n,7

∴7=2pn,∴n=7

由抛物线的定义,得|MF|=7

∴p=1\text或p=7（当

∴抛物线的方程为y2=2x,准线方程为

（2）证明：设直线l的方程为x=λy+3,由x=λy+3，y2

设A(x

则y1

∴OA

探究点三存在性问题

精讲精练

例在平面直角坐标系中,动点M到点F(2,0)的距离和它到直线x=52的距离的比是常数

（1）求动点M的轨迹方程;

（2）若过点F作与坐标轴不垂直的直线l,交动点M的轨迹于A,B两点,设点A关于x轴的对称点为P,当直线l绕着点F转动时,是否存在定点Q,使得B,P,Q三点共线？若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由．

答案：（1）设M(x,y),则(x-2)2

故动点M的轨迹方程为x2

（2）由题意知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k（x-2）,

由y=k(x-2)x2

设A(x1

由椭圆的对称性知,若存在定点Q,则点Q必在x轴上,

故假设存在定点Q(t,0),使得P,B,Q三点共线,则PB∥PQ且

∵

∴(

即(

化简得2

将x1+

解得t=52,故存在定点Q(5

解题感悟

存在性问题的解决方法

（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素（点、直线、曲线或参数）存在,否则元素（点、直线、曲线或参数）不存在.

（2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.

迁移应用

1.已知椭圆C：x2a2

（1）求椭圆C的方程;

（2）设直线y=kx+3与椭圆C交于M,N两点,点A(2,0),则