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2023年高考数学模拟试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知与函数和都相切,则不等式组所确定的平面区域在内的面积为()
A. B. C. D.
2.在中,点为中点,过点的直线与,所在直线分别交于点,,若,,则的最小值为()
A. B.2 C.3 D.
3.下列函数中,既是奇函数,又是上的单调函数的是()
A. B.
C. D.
4.已知抛物线经过点,焦点为,则直线的斜率为()
A. B. C. D.
5.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过的直线与轴交于点,线段与交于点.若,则的方程为()
A. B. C. D.
6.设复数满足,则()
A. B. C. D.
7.已知数列对任意的有成立,若,则等于()
A. B. C. D.
8.函数在的图象大致为()
A. B.
C. D.
9.设,集合,则()
A. B. C. D.
10.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},则A∩B=()
A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}
11.已知盒中有3个红球,3个黄球,3个白球,且每种颜色的三个球均按,,编号,现从中摸出3个球(除颜色与编号外球没有区别),则恰好不同时包含字母,,的概率为()
A. B. C. D.
12.已知正方体的棱长为,,,分别是棱,,的中点,给出下列四个命题:
①;
②直线与直线所成角为;
③过,,三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
④三棱锥的体积为.
其中,正确命题的个数为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数为偶函数,则_____.
14.曲线在点处的切线方程为______.
15.在直角坐标系中,已知点和点,若点在的平分线上,且,则向量的坐标为___________.
16.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程是(为参数,常数),曲线的极坐标方程是.
(1)写出的普通方程及的直角坐标方程,并指出是什么曲线;
(2)若直线与曲线,均相切且相切于同一点,求直线的极坐标方程.
18.(12分)已知函数,直线是曲线在处的切线.
(1)求证:无论实数取何值,直线恒过定点,并求出该定点的坐标;
(2)若直线经过点,试判断函数的零点个数并证明.
19.(12分)已知函数,(其中,).
(1)求函数的最小值.
(2)若,求证:.
20.(12分)已知函数f(x)=ex-x2-kx(其中e为自然对数的底,k为常数)有一个极大值点和一个极小值点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)证明:f(x)的极大值不小于1.
21.(12分)已知函数的图象在处的切线方程是.
(1)求的值;
(2)若函数,讨论的单调性与极值;
(3)证明:.
22.(10分)已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据直线与和都相切,求得的值,由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆,由此求得正确选项.
【详解】
.设直线与相切于点,斜率为,所以切线方程为,化简得①.令,解得,,所以切线方程为,化简得②.由①②对比系数得,化简得③.构造函数,,所以在上递减,在上递增,所以在处取得极小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即,画出其对应的区域如下图所示.圆可化为,圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示,不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为,直线的斜率为.所以,所以,而圆的半径为,所以阴影部分的面积是.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查根据公共切线求参数,考查不等
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